CF1838E Count Supersequences 题解

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思路

诈骗题。首先发现 \(a_i\) 其实没有任何用，所以可以令所有 \(a_i = 1\)。设 \(f(i)\) 代表构造 \(b\) 的方案数，使得 \(b\) 中恰好有 \(i\) 个 \(1\)。可得：

\[f(i) = \binom{m}{i} \cdot (k - 1) ^ {m - i} \]

代表在 \(m\) 中选 \(i\) 个位置放 \(1\)，剩下 \(m - i\) 个位置不能填 \(1\)，又因为 \(a_i \in [1, k]\)，所以有 \(k - 1\) 中选法。那所以答案就是 \(\sum \limits_{i = n}^m f(i)\)，可是 \(m \le 10^9\)。

考虑正难则反。因为总方案数显然为 \(k^m\)，所以合法方案数就为 \(k^m - \sum \limits_{i = 1}^{n - 1} f(i)\)，就做完了。

因为 \(m\) 很大，\(\binom{m}{i}\) 不能用阶乘预处理，所以用递推：

\[\binom{m}{i} = \binom{m}{i - 1} \cdot \displaystyle \frac{n - i + 1}{i} \]

这样就结束了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 2e5 + 5, mod = 1e9 + 7;

int t, n, m, k;
int a[N], f[N], c[N];

int fastPow(int a, int b)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

void solve()
{
	scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld", &a[i]);
	int c = 1, ans = fastPow(k, m);
	ans = ((ans - fastPow(k - 1, m)) % mod + mod) % mod;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		c = (c * (m - i + 1) % mod) * fastPow(i, mod - 2) % mod;
		f[i] = c * fastPow(k - 1, m - i) % mod;
		ans = ((ans - f[i]) % mod + mod) % mod;
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

signed main()
{
	scanf("%lld", &t);
	while (t--) solve();
	return 0;
}