均分纸牌问题

本文同步发表于洛谷。

普通均分纸牌问题

P1031 [NOIP 2002 提高组] 均分纸牌

这道题是普通的均分纸牌问题。直接贪心即可。设 \(sum = \sum a_i\)，\(avg = \displaystyle \frac{sum}{n}\)，则很显然，如果 \(a_i > avg\)，就把多余的纸牌放到第 \(i+1\) 堆，反之亦然。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105;

int n, sum;
int a[N]; 

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]), sum += a[i];
	sum /= n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		a[i] -= sum;
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (a[i] != 0)
		{
			ans++;
			a[i + 1] += a[i];
		}
	}
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

环形均分纸牌问题

P2512 [HAOI2008] 糖果传递

这道题就是环形均分纸牌问题的板子题。我们假设每一个人都向他的左侧给糖果。设 \(x_i\) 代表 \(i\) 向 \(i - 1\) 传的糖果数量。特别地，\(x_1\) 代表 \(1\) 向 \(n\) 传的糖果数量。如果 \(x_i < 0\)，则说明 \(i\) 向 \(i+1\) 给了 \(-x_i\) 颗糖果。那如果要最终每一个人的糖果都相等（即 \(\forall i \in \{1, 2, \ldots, n\}, a'_i = avg\)），就会有：

\[\left\{ \begin{aligned} &a_i - x_i + x_{i+1} = avg \, (1 \le i < n) \\ &a_n - x_n + x_1 = avg \end{aligned} \right. \]

移项后可得：

\[\left\{ \begin{aligned} &x_2 = avg + x_1 - a_1 \\ &x_3 = avg + x_2 - a_2 \\ & \dots \\ &x_n = avg + x_{n-1} - a_{n-1} \\ &x_1 = avg + x_n - a_n \end{aligned} \right. \]

从小到大依次将 \(x_i\) 代入 \(x_{i+1}\)，即可得：

\[\begin{aligned} x_i = x_1 - \sum_{j=1}^i a_j + i \times avg \end{aligned} \]

此时我们设：

\[\begin{aligned} c_i = \sum_{j=1}^i a_j - i \times avg \end{aligned} \]

则：

\[x_i = x_1 - c_i \]

回到题目，如果要最小化步骤，其实就是使 \(\sum |x_i|\) 最小，即使 \(\sum |x_1 - c_i|\) 最小。观察其几何意义，就会发现这是一道初中数学题。几何意义就是在数轴上选择一个点 \(A\)，使得 \(A\) 到 \(c_{1,2,\dots,n}\) 的距离和最小。

这就是一道货仓选址问题。

P10452 货仓选址

根据初中学到的知识，就会得出结论：若 \(n\) 为偶数，则点 \(A\) 选在中间两个点之间一定最优。否则，点 \(A\) 为中间的点时一定最优。证明略。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

int n;
int a[N];

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	sort(a + 1, a + n + 1);
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n / 2; i++)
		ans += (a[n - i + 1] - a[i]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

回到糖果传递问题，我们会发现现在就十分简单了。直接上代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;

int n, sum;
int a[N], c[N];

signed main()
{
	scanf("%lld", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld", &a[i]), sum += a[i];
	int avg = sum / n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		c[i] = c[i - 1] - a[i - 1] + avg;
	sort(c + 1, c + n + 1);
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n / 2; i++)
		ans += c[n - i + 1] - c[i];
	printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

练习题

P3051 [USACO12MAR] Haybale Restacking G

这道题是 P2512 的变形，只需要把原本的 \(avg\) 换成每一个 \(b_i\) 即可，其他的与上题一样。代码。

P10453 七夕祭

首先发现行和列互不影响，于是就可以对行、列分别进行 P2512 的做法。注意如果当前总数不是 \(x\) 的倍数，则这方面无解（\(x\) 根据你求的是行还是列断定）。最后判断即可。代码。