Manacher's Algorithm ----马拉车算法

本文是我对博友 BIT祝威 和Grandyang ,以及寒小阳关于最长回文子串上关于马拉车算法理解的整理,若是对我的整理有所不懂得,建议去看BIT祝威的博客,很详细,以下纯属个人不成熟的理解。

首先,得先了解什么是回文串(我之前就不是很了解,汗)。回文串就是正反读起来就是一样的,如“abba”。关于采用时间复杂度为O(n^2),以每个字符为中心去向两端遍历寻找最大回文串的方法,可以见我之前些的博客,戳这里

当我们遇到字符串为“aaaaaaaaa”,之前的算法就会发生各个回文相互重叠的情况,会产生重复计算,然后就产生了一个问题,能否改进?答案是能,1975年,一个叫Manacher发明了Manacher Algorithm算法,俗称马拉车算法,其时间复杂为O(n)。该算法是利用回文串的特性来避免重复计算的,至于如何利用,且由后面慢慢道来。

在时间复杂度为O(n^2)的算法中,我们在遍历的过程要考虑到回文串长度的奇偶性,比如说“abba”的长度为偶数,“abcba”的长度为奇数,这样在寻找最长回文子串的过程要分别考奇偶的情况,是否可以统一处理了?

马拉车算法:

一)第一步是改造字符串S,变为T,其改造的方法如下:

在字符串S的字符之间和S的首尾都插入一个“#”,如:S=“abba”变为T="#a#b#b#a#" 。我们会发现S的长度是4,而T的长度为9,长度变为奇数了!!那S的长度为奇数的情况时,变化后的长度还是奇数吗?我们举个例子,S=“abcba”,变化为T=“#a#b#c#b#a#”,T的长度为11,所以我们发现其改造的目的是将字符串的长度变为奇数,这样就可以统一的处理奇偶的情况了

二)第二步,为了改进回文相互重叠的情况,我们将改造完后的T[ i ] 处的回文半径存储到数组P[ ]中,P[ i ]为新字符串T的T[ i ]处的回文半径,表示以字符T[i]为中心的最长回文字串的最端右字符到T[i]的长度,如以T[ i ]为中心的最长回文子串的为T[ l, r ],那么P[ i ]=r-i+1。这样最后遍历数组P[ ],取其中最大值即可。若P[ i ]=1表示该回文串就是T[ i  ]本身。举一个简单的例子感受一下:

数组P有一性质,P[ i ]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度 ,那就是P[i]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度,至于证明,首先在转换得到的字符串T中,所有的回文字串的长度都为奇数,那么对于以T[i]为中心的最长回文字串,其长度就为2*P[i]-1,经过观察可知,T中所有的回文子串,其中分隔符的数量一定比其他字符的数量多1,也就是有P[i]个分隔符,剩下P[i]-1个字符来自原字符串,所以该回文串在原字符串中的长度就为P[i]-1。【这段解释引用 dyx心心

另外,由于第一个和最后一个字符都是#号,且也需要搜索回文,为了防止越界,我们还需要在首尾再加上非#号字符,实际操作时我们只需给开头加上个非#号字符,结尾不用加的原因是字符串的结尾标识为'\0',等于默认加过了。这样原问题就转化成如何求数组P[ ]的问题了。

三)如何求数组P [ ]

  从左往右计算数组P[ ], Mi为之前取得最大回文串的中心位置,而R是最大回文串能到达的最右端的值。

  1)当 i <=R时,如何计算 P[ i ]的值了?毫无疑问的是数组P中点 i 之前点对应的值都已经计算出来了。利用回文串的特性,我们找到点 i 关于 Mi 的对称点 j ,其值为 j= 2*Mi-i 。因,点 j 、i 在以Mi 为中心的最大回文串的范围内([L ,R]),

       a)那么如果P[j] <R-i (同样是L和j 之间的距离),说明,以点 j 为中心的回文串没有超出范围[L ,R],由回文串的特性可知,从左右两端向Mi遍历,两端对应的字符都是相等的。所以P[ j ]=P[ i ](这里得先从点j转到点i 的情况),如下图:

 

     b)如果P[ j ]>=R-i (即 j 为中心的回文串的最左端超过 L),如下图所示。即,以点 j为中心的最大回文串的范围已经超出了范围[L ,R] ,这种情况,等式P[ j ]=P[ i ]还成立吗?显然不总是成立的!因,以点 j 为中心的回文串的最左端超过L,那么在[ L, j ]之间的字符肯定能在( j, Mi ]找到相等的,由回文串的特性可知,P[ i ] 至少等于R- i,至于是否大于R-i(图中红色的部分),我们还要从R+1开始一一的匹配,直达失配为止,从而更新R和对应的Mi以及P[ i ]。

  2)当 i > R时,如下图。这种情况,没法利用到回文串的特性,只能老老实实的一步步去匹配。

相应的代码如下:

 1 string Manacher(string s)
 2 {
 3     /*改造字符串*/
 4     string res="$#";
 5     for(int i=0;i<s.size();++i)
 6     {
 7         res+=s[i];
 8         res+="#";
 9     }
10 
11     /*数组*/
12     vector<int> P(res.size(),0);
13     int mi=0,right=0;   //mi为最大回文串对应的中心点,right为该回文串能达到的最右端的值
14     int maxLen=0,maxPoint=0;    //maxLen为最大回文串的长度,maxPoint为记录中心点
15 
16     for(int i=1;i<res.size();++i)
17     {
18         P[i]=right>i ?min(P[2*mi-i],right-i):1;     //关键句,文中对这句以详细讲解
19         
20         while(res[i+P[i]]==res[i-P[i]])
21             ++P[i];
22         
23         if(right<i+P[i])    //超过之前的最右端,则改变中心点和对应的最右端
24         {
25             right=i+P[i];
26             mi=i;
27         }
28 
29         if(maxLen<P[i])     //更新最大回文串的长度,并记下此时的点
30         {
31             maxLen=P[i];
32             maxPoint=i;
33         }
34     }
35     return s.substr((maxPoint-maxLen)/2,maxLen-1);
36 }

 

若还是有不懂的,可以参考,这篇文章参考的大神们写的博客。本人小白啊,若有错误,欢迎大神留言指出!

posted @ 2017-06-24 01:46  王大咩的图书馆  阅读(12715)  评论(13编辑  收藏