[题解] 2024 ICPC 武汉邀请赛 D. 贪心与质因数

[题解] 2024 ICPC 武汉邀请赛 D. 贪心与质因数

TAG: 贪心, 数理推导, 数论
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题目大意

给定一个整数 \(N\)。每一次操作中，你可以选取一个整数 \(y \in [N, 2N-1]\)，然后将 \(N\) 取值为 \(\frac{y}{\text{gpf}(y)}\)，其中 \(\text{gpf}(y)\) 是 \(y\) 的最大质因数。
当前目标是在每一步中采取“贪心”策略：使得每次变化后的新数尽量大。基于此确定性的最优化贪心策略，求出将 \(N\) 变小到 \(1\) 需要经历多少次操作。
（注：数据范围达到 \(10^{18}\)，对于这种体量的数据运算极易在中途超出界限，对应代码中运用了 __int128_t 进行防越界保护）。

核心思路

直观分析可知，要在区间 \([N, 2N-1]\) 中找到一个 \(y\)，使得除以其最大质因数后的商 \(\frac{y}{\text{gpf}(y)}\) 最大，这直接要求其最大质因数本身要尽可能地小。顺着这条线索，我们要证明只需考虑最大质因数为 2 和 3 的情况即可。

推导与证明全过程：

• 区间 \([N, 2N-1]\) 的长度为 \(N\)。对于任意正整数 \(N\)，该区间内必定包含至少一个 \(2\) 的自然数次幂（若 \(N\) 恰好不是 \(2\) 的幂，则中间必跨过一个；若 \(N\) 是，则端点本身即是）。
• 设这个位于区间内且仅有质因数 2 的数为 \(y = 2^j\)，显然它的最大质因数毫无争议是 2。如果我们在这轮选中了它，那么这步状态能稳定转移到 \(\frac{y}{2} = 2^{j-1}\)。结合 \(2^j \ge N\)，必然有转移结果 \(2^{j-1} \ge \frac{N}{2}\)。
• 也就是说，我们就算当个瞎子，每轮无论如何都有一个绝对保底的选项，能让新产生的数字 \(\ge \frac{N}{2}\)。

此时反观最大质因数稍微大点的情况：
如果我们在区间内选取的 \(y\) 包含别的因子，其最大质因数一旦达到界限（即 \(\text{gpf}(y) \ge 5\)），那么我们将得到：

\[\\frac{y}{\\text{gpf}(y)} \\le \\frac{y}{5} \\le \\frac{2N-1}{5} < 0.4 N \]

因为 \(0.4N < 0.5N\)，所以凡是最大质因数大于等于 5 的备选数字，其除法带来的数值衰减过于恐怖。它辛辛苦苦算出来的商，连我们在上面得到的保底选项 \(\frac{N}{2}\) 的尾灯都看不到，绝对不可能成为我们需要的最大值。

这说明在庞大的 \(10^{18}\) 数字范围内，真正有资格成为最优跳板的 \(y\)，必然只出自于以下两种极其极端的组合：

1. 最大质因数为 2：即 \(y = 2^j\) 形式，对应的下一步转移到 \(\frac{y}{2}\)。
2. 最大质因数为 3：即 \(y = 2^j \times 3^k \ (k \ge 1)\) 形式，下一步转移到 \(\frac{y}{3}\)。注意它极有可能比单纯的 \(\frac{N}{2}\) 答案更优从而篡权，因为 \(\frac{2N}{3} \approx 0.66N\)。

因此贪心模拟做法呼之欲出：
我们无需挨个枚举数字。只需枚举所有可能的 \(2^j\)（作为基准参数），然后不断去乘上尽可能多的 \(3\)、让其死死逼近区间右边界 \(2N-1\)。如果得到了一个依然存活在 \([N, 2N-1]\) 里的合法数值，此时只会有最大因子是 2 或者 3 这两种干净纯粹的身份。看看是哪种身份，直接算出除下来的结果，在全局滚一个 \(\max\) 进行更新即可。

复杂度分析

• 时间复杂度：
  在 getnxt 一次寻找的过程中，外层循环单纯枚举 \(x = 2^j\)，只会执行区区 \(\log_2(2N)\) 趟。内部逼近时顶多经历 \(\log_3\) 次，因此计算一次下一步的耗时被严格降维在 \(O(\log N)\)。
  又因每次的 \(N\) 会被至少除以一半缩水，外层的总模拟趟数也就只是 \(\log_2 N\) 次即可跌落到 1。
  两相组合，总体执行时间复杂度为极度优秀的 \(O(\log^2 N)\)。
• 空间复杂度：由于只是使用变量更新最大值，没有开辟哪怕一个附加数组缓存，因此空间复杂度为 \(O(1)\)。

原理解析与 AC 代码

• x: 代表外层循环枚举的 \(2^j\) 这部分基础数字。
• y: 代表以 x 为框架出发，尽全力通过乘 3 吃满空间得到的刚好没有越过 r (即 \(2N-1\)) 的极限最大值。
• res: 单边一轮转移里用来筛选更新的最大结果，用来当作下一步轮回的起手式。

代码原版输出如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using i128=__int128_t;
#define int long long
#define endl '\n'

int n;

// 获取当前状态 n 执行最优贪心转移后的下一个结果
int getnxt(int n){
    i128 l=n, r=2*n-1;
    i128 res=0;
    
    // 枚举全部由于底数带来的 x = 2^j
    for(i128 x=1; x<=r; x*=2){
        i128 y=x;
        // 把 3 的因子尽可能贪心塞入，一旦超过右边界立刻停止
        while(y*3<=r) y*=3;
        
        // 如果塞满后发现 y 连区间最底部的左边界 l 都不够
        // 此基底分支完全不在 [n, 2n-1] 范围内，直接忽略
        if(y<l) continue;
        
        // 如果 y 就是一个 2 的整次幂 (即代码中没执行过前面的乘3，k=0的情况)
        // 那么这轮该数最大的质因数就是 2，产生候选结果为 y / 2
        if(y==x) res=max(res, y/2);
        
        // 否则如果在里面填充了 3 的因子
        // 那么哪怕掺杂了 2，其最大质因数依然是起决定作用的 3，候选结果为 y / 3
        else res=max(res, y/3); 
    }
    return res;
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cin>>n;
    
    int ans=0;
    // 跌到 1 之前不停步
    while(n!=1){
        n=getnxt(n);
        ans++;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}