竞赛图 SCC 计数（ARC163D）

我们先端上来一个美味的结论。

对于一张有 \(n\) 个点的竞赛图 \(G\)，它的 SCC 数量等于：

• 将 \(G\) 的 \(n\) 个点划分为两个点集 \(S\) 和 \(T\)，且要求 \(|T|>0\)，对于任意的 \(u\in S\) 和 \(v\in T\)，\(u\) 和 \(v\) 之间的连边方向为 \(u\to v\) 的方案数。

考虑将图 \(G\) 进行缩点，竞赛图缩点后的形态一定是 \(scc_1\to scc_2\to\ldots\to scc_k\) 这么一条链，同时链上每个点再向后面所有点连边。然后我们任选一个 \(0\le p<k\)，将 \(scc_p\) 及它前面的 \(scc\) 内部的点划分到 \(S\)，将 \(scc_{p+1}\) 到 \(scc_k\) 内部的点划分到 \(T\)，容易发现和上面的方案正好构成双射，且 \(p\) 的取值恰好为 \(k\) 种，也就是 SCC 个数。

ARC163D Sum of SCC

呃，根据上面的结论，直接数划分点集且恰好 \(m\) 条正向边的方案数。

直接设 \(f_{i,j,k}\) 表示当前已经给前 \(i\) 个点划分好了点集，此时 \(|S|=j\)，有 \(k\) 条正向边的方案数，转移考虑刷表，讨论 \(i+1\) 号点放到哪个集合：

• 放到 \(S\) 集合中，连到 \(T\) 内的 \(i-j\) 条边全是反向边，连到 \(S\) 内的 \(i\) 条边任意定向，枚举 \(x\) 条边为正向边，有 \(f_{i+1,j+1,k+x}\leftarrow f_{i,j,k}\times\binom{j}{x}\)。

• 放到 \(T\) 集合中，从 \(S\) 内连来的 \(j\) 条边全是正向边，连到 \(T\) 内的 \(i-j\) 条边任意定向，枚举 \(x\) 条边为正向边，有 \(f_{i+1,j,k+j+x}\leftarrow f_{i,j,k}\times\binom{i-j}{x}\)。

时间复杂度 \(O(n^5)\)。

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