关于复习信号与系统的几点絮絮叨叨
目录
功率与能量
信号能量与功率
能量
\[\int_{-\infty }^{\infty }|x(t)|^2{d}t
\]
功率
\[\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} }|x(t)|^2{d}t
\]
能量有限和功率有限
flowchart LR
A[信号] -->B(功率信号)
A --> C(能量信号)
A --> D(能量功率都无限的信号)
- 能量信号的功率是0
- 功率信号的能量是\(\infty\)
这让我又想到了后面Fourier级数和Fourier变换的帕塞瓦尔定理
功率信号做Fourier级数，频域分功率
能量信号做fourier变换，频域分能量
系统的因果性
源于一个问题
\(y(t)=x(t)cos(t+1)\)是因果系统吗？
乍一看答案肯定是否，别急，再看一眼，t+1出现在cos上，和输入什么关系，什么？没关系。
再认识因果系统
系统在任意时刻的输出取决于现在的输入和过去的输入，那么该系统是因果的
把上面那个问题重写，\(y(t)=x(t)g(t),g(t)=cos(t+1)\),现在呢，系统输出对于输入来讲，确实只受现在的影响，确是因果系统。
4.9记：系统的单位冲激响应h(t)应该在\(t<0\)时候保证\(h(t)<0\)
对比记忆系统
无记忆系统是指输出取决于该时刻的输入
信号分解与系统表征
信号分解
将信号用一组信号线性集来表示，以此利用LTI的线性性质求解输出
冲激信号表示连续信号
\[x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau){d}\tau
\]
信号的正交分解
这里提一下是我想到了后面频域分析的时候将信号分解为三角or复指数
系统的冲激响应
我们从以下几点开始推理
- 系统对冲激 δ(t) 的零状态响应是 冲激响应 h(t)。
- 由LTI时不变性：系统对 δ(t−τ) 的响应是 h(t−τ)。
- 由线性（齐次性）：系统对 x(τ)δ(t−τ)Δτ 的响应是 x(τ)⋅h(t−τ)Δτ。
由此，我们能得出，系统的零状态响应为$$y_{zs}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau){h}(t-\tau){d}\tau$$
这样\(y(t)=x(t)*h(t)\)，h(t)就可以用来表征系统
还有一个妙的点在于LTI系统的性质就变成了卷积的性质
卷积的性质
1 代数性质
- 交换律
系统与输入互换，响应不变 - 分配律
系统由子系统构成，响应也是子响应的和
- 结合律
两个系统级联，交换位置，响应不变
这个点还与逆系统有关
\(h(t)*h_1(t)=\delta(t)\),则有逆系统\(h_1(t)\)
图取自https://zhuanlan.zhihu.com/p/1983263068550082831
2 任意信号与奇异信号的卷积
- \(\delta(t-t_0)\)
- \(\delta'(t)\)
- \(u(t)\)
3 积分微分性
系统的稳定性
\[\int_{-\infty}^{\infty}|h(\tau)|d\tau<\infty
\]
复杂系统的响应
前面提到一个词零状态响应，这就是一种系统响应，在这里来展开说说
自然响应和强迫响应
零输入和零状态响应
考点：经典法和双零法求系统响应
考点：系统框图表征微分方程
常用傅里叶变换对
浙公网安备 33010602011771号