连续时间的复频域分析

目录

• 从fourier变换开始
  • laplace变换
  • 收敛性
• laplace变换性质
  • • 线性
    • 时移
    • s域平移
    • 时域尺度变换
    • 卷积性质
    • 时域微分
    • s域微分
    • 时域积分
    • 初值定理与终值定理(单边性质)
• 常用laplace变换对
• 一个有意思的话题

从fourier变换开始

上一篇针对绝对可积信号和一些特殊信号(引入冲激信号)实现了周期和非周期的Fourier变换，完成了频域分析。但是还有\(e^{\alpha t}u(t)(\alpha>0)\)这样的一类信号无法分析。
针对这一问题，laplace选择新的和fourier类似的变换laplace变换

laplace变换

\[laplace变换：X(s)=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)e^{-st}dt \]

\[laplace反变换：x(t)=\frac{1}{2\pi j} \int_{\delta-\infty}^{\delta+\infty} X(s)e^{st}ds \]

\[s=\delta + jw \]

从变换的角度看，laplace变换用\(\delta\)衰减因子让原信号变衰减，然后再做fourier变换，\(\delta=0\)就退化回fourier变换。
从逆变换的角度看，laplace变换将信号信号分解为\(e^{st}\)，\(s\in (\delta-j\infty,\delta+j\infty )\)，就是零级图中的一条竖线。而fourier变换将信号信号分解为\(e^{jwt}\)，\(w\in (-\infty,\infty )\)。因此恢复时域信号的时候就是选择一个收敛域内的\(\delta\)，再用不同的jw值拟合。

收敛性

对比fourier变换，\(\delta\)是新的东西，而敛散性的考量正式源于此。我们需要考虑\(\delta\)的取值决定是否可以做后续的ft，对不能让信号衰减(或稳定)\(\delta\)的取值，其对应的s在lt中是不存在的，也就是说其lapalce变换在那一部分是发散的。
我们很容易进入一个误区：我们给定的\(\delta\)越大，其越容易衰减，收敛域总是是s域的右平面。这是不对的，我们看下面这个例子


但是对于这个信号，其收敛域就到了左平面，这与积分区域有关，s的取值总符合绝对可积的要求
根据信号时域特征，我们对收敛域做更详细的分析

信号类型	收敛域
时限信号	整个平面
右边信号	右半平面
左边信号	左半平面
双边信号	不存在or带状区域

从数学的角度看，s平面内收敛域内的X(s)都是由意义的，因此可以想到收敛域内不包含极点，这样就给我们提供了一个思路“收敛域总被极点或\(\infty\)卡住”

laplace变换性质

lapace的所有性质，X（s）发生变化，收敛域、极零点跟着变化

线性

这里要注意收敛域的变化，收敛域至少是各个因子的交，一定情况下也可能比这个交大

时移

这里就要提到单边拉普拉斯变换了，其在系统分析上具有很大作用。
而在信号变换上，其要注意的就是我们始终认为t<0时刻的信号应该为0，因此x(t)实际上是x(t)u(t)
单边：$$L[x(t-t_0)u(t-t_0)]=X(s)e^{-st_0}$$
双边：$$L[x(t-t_0)]=X(s)e^{-st_0}$$

s域平移

时域尺度变换

卷积性质

这里我们就可以证明，在零极点相消会造成收敛域扩大

时域微分

这里要区分的是单边与双边laplace变换，二者在微分性质上有显著差异
双边：$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} x(t)=sX(s)$$
单边：$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} x(t)=sX(s)-x(0_-)$$

s域微分

时域积分

初值定理与终值定理(单边性质)

\[x(0^+)=\lim_{s \to \infty} sX(s) \]

\[\lim_{t \to \infty} x(t)=\lim_{s \to 0} sX(s) \]

常用laplace变换对

一个有意思的话题

既然我们定义了lt，那么ft和lt有什么关系呢，我们能否从lt推出ft呢
这里我要上我们老师在课件上展示的一幅图了

从图里我们看一条特殊的线：令\(\delta=0\)，没错，是以jw为自变量的ft，那条线就是信号的频谱。
那么我们就得出一条让人兴奋的结论：ft和lt是一回事，都能表现出信号各个频率分量的相对大小关系。
有些信号的LT并不是上图，因为收敛域的原因，只是图里的一小部分，那么其收敛域时候包含虚轴就变成了LT能否推出ft的条件。