复变函数与积分变换（4）

目录

• 第六章 留数及其应用
  • 孤立奇点
    • 分类法
    • 极点与零点
  • 留数
    • 基本认识
    • 留数定理
  • 计算定积分

第六章 留数及其应用

孤立奇点

分类法

• 可去奇点
• 极点
• 本性奇点
  判断方法：

1. 洛朗级数展开，复幂项个数: 0,N,无限多个
2. 极限 求极限值：C，无穷，其他

极点与零点

m级零点与m级极点

• 判断极点为几级极点：分母求几次导变得不为0，则函数有几级极点

留数

基本认识

1. 定义： $$Res[f(z),z_0]=C_{-1}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_c^{}f(z)dz$$
2. 求法：m级极点
   $$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\underset{z\to z_0}{lim}\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}[(z-z_0{)}^{m}f(z)]$$
   2.1 1级极点$$Res[f(z),z_0]=\underset{z\to z_0}{lim}(z-z_0)f(z)$$
   2.2 1级极点分式函数 $$Res[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q^{\prime }(z_0)}$$

留数定理

• 用于求存在孤立奇点的函数的积分
  $${\oint }_c^{}f(z_0)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}Res[f(z),z_k]$$

计算定积分

1，2，3类定积分