复变函数与积分变换（2）

第三章

复变函数的积分

积分的存在性

$$\int f(z)\mathrm{d}z=\int u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+i\int v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y$$

• 函数连续 ->曲线积分存在 -> 复变函数积分积分存在
• 积分的性质: 积分不等式

积分的计算

找f(z)的奇点 -> 判断奇点和积分路径C的位置关系 -> 选方法：

1. 参数法（二元化一元）
   复变积分 -> 实数定积分
2. 柯西积分定理： 在曲线内部解析 -> 积分与路径无关 -> 换路
3. 复合闭路定理：将沿某一闭曲线积分转换为另一个闭曲线积分
4. 特殊积分 ：z0在c内在C为z0圆心，r半径的定圆积分（形式与z0有关，结果与r无关）
   $${\oint }_c^{}\frac{\mathrm{d}z}{(z-z0{)}^{n+1}}=\{\begin{array}{ll}& \text{ 2iΠ ， }n=0\\ & \text{ 0 ，}n\ne 0\end{array}$$
5. 柯西积分公式
   $${\oint }_C^{}\frac{f(z)}{z-z0}dz=2\pi if(z0)$$
   • f(z)在D内解析，积分转换为函数值（柯西积分公式使用条件）
   • z0不在C内
6. 高阶导数公式
   $${\oint }_C^{}\frac{f(\xi )}{(\xi -z{)}^{n+1}}d\xi =\frac{2\pi i}{n!}{f}^{(n)}(z)$$
7. 留数定理
   $${\oint }_c^{}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}Res[f(z),z_k]$$

• f(z)在曲线中有多个奇点，除奇点外处处解析

调和函数

解析与调和

f(z) = u + vi 在D上解析 -> u v 都是区域D上的调和函数

• 解析带来天然的调和
• CR条件 可以推出 Laplace方程

调和函数的证明

1. 证明调和：u在D上有二阶连续偏导，满足$$\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{x}^2}u+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{y}^2}u=0$$
   则 u调和
2. 共轭调和：满足CR条件 -> 共轭调和
3. 以CR条件为媒介，可以从调和构建解析函数