数论定理篇

真是的，博主本来就菜，又懒得刷题。

只好一边划水，一边从别人的博客上搬代码。

1）素数筛法

2）快速幂，快速乘

快速乘（注意：变乘法为加法）：

LL Kmul(LL a, LL b, LL mo){ //计算a*b%mo 
    LL ret = 0;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret + a) % mo;
        a = (a+a) % mo;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

　　　　//即每次a乘2，b除2

3）欧几里得求gcd，lcm

递归，gcd（a,b）= gcd(b,a%b) = gcd(x,0) = x

　　lcm（a,b）= a*b/gcd(a,b) = a/gcd(a,b)*b

4）扩展欧几里得

　　解决ax+by=c整数解问题

5）费马-欧拉定理

　　I、欧拉定理

　　　　若n、a互质，a^φ(n) ≡ 1 (mod n) //同余式

　　II、费马小定理

　　　　若p、a互质，并且p是质数，a^(p-1) ≡1（mod p）

　　//循环节

6）逆元inv（解决在除法过程中取模问题）

　　定义：a*inv(a) ≡ 1 (mod m)

　　根据费马小定理，若m为质数，inv(a)=a^(m-2) //m尽量取大

　　　　　　　　　　若不是，转换为扩展欧几里得问题

　　O（n）求出2->N的逆元（MOD要为质数）

int init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
    }
}

7）欧拉函数φ(n)或phi(n)

　　phi(n)为1-n中与n互质的数的个数

　　模仿素数埃筛

int phi[N];
void Euler(){
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(!phi[i]){
            for(int j = i; j < N; j += i){
                if(!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
            }
        }
    }
}

8）中国剩余定理

求一个x，模m1余r1，模m2余r2，......

若m1,m2....两两互质，则x有解。

模板代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 typedef pair<LL, LL> PLL;
 6 LL a[100000], b[100000], m[100000];
 7 LL gcd(LL a, LL b){
 8     return b  ? gcd(b, a%b) : a;
 9 }
10 void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
11     if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
12     else{
13         ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
14         y -= x * (a / b);
15     }
16 }
17 LL inv(LL t, LL p){
18     LL d, x, y;
19     ex_gcd(t, p, x, y, d);
20     return d == 1  ? (x % p + p) % p : -1;
21 }
22 PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) { 
23     LL x = 0, m = 1;
24     for(int i = 0; i < n; i ++) {
25         LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a);
26         if(b % d != 0)  return PLL(0, -1); 
27         LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
28         x = x + m*t;
29         m *= M[i]/d;
30     }
31     x = (x % m + m ) % m;
32     return PLL(x, m);
33 }
34 int main(){
35     int n;
36     while(scanf("%d", &n) != EOF){
37         for(int i = 0; i < n; i ++){
38             a[i] = 1;
39             scanf("%d%d", &m[i], &b[i]);  //分别为m，r
40         }
41         PLL ans = linear(a, b, m, n);
42         if(ans.second == -1) printf("-1\n");
43         else printf("%lld\n", ans.first);
44     }
45 }