矩乘与半群信息

半群

若一个运算有封闭性且有结合律，我们称之为半群信息。

半环

简单定义为：

• 半群 \((S,\oplus)\) 有交换律，有单位元。

• 半群 \((S,\otimes)\) 有单位元。

• $\otimes $ 对 \(\oplus\) 有左右分配律。

这个就是半环。

矩乘

若一个运算满足半环条件，那么它一定可以进行矩乘，这个条件在大部分情况适用。

有一些比较简单的运算实际可以用标记来做。例如区间 ckmax，区间加，单点查。

可以定义二元组 \(t_i = (p,q)\)。

对于一个 \(tag=(p,q)\) 表示给定 \(x\) 之后变为 \(\max(p+x,q)\)

对于一次运算 ckmax。

\(\max({p+x,q,v}) = \max(p+x,max(q,v))\)。

一次运算 +。

\(\max(p+x,q) +v = \max(p+x+v,q+v)\)。

这样可以实现一个二元组就代替矩乘效果，标记更复杂还是用矩乘。