CF1750G

前面到 \(O(n^3)\) 不再赘述，主要就是先把划分段变成上升位置再去反演会好做一些。

最后从 \(O(n^3)\) 到 \(O(n^2)\) 是找到一种方法可以只在最后做一次二项式反演，原本是左侧为恰好选了多少个右侧为钦定选了多少个，那就需要每次把右边钦定反演成恰好再贡献答案。实际上可以把左侧的恰好变为钦定。设 \(f\) 为恰好，\(g\) 为钦定，这里先对于集合考虑，我们如果想要满足反演形式，只做一次就必须时刻满足 \(g_S= \sum_{ S \subseteq T} f_T\)。由于前面的恰好只有一个位有值，我们可以把前面的恰好变为钦定，即给其子集位置全部赋值为 \(1\)，这样就变为钦定了,注意到 \(popc\) 相同的集合等价，那就可以变为钦定 \(x\) 个位置了。设前 \(i\) 个有恰好 \(c_i\) 个位置上升。用生成函数写就是 \(F=(1+x)^{c_i}\)。那对于第 \(i\) 个位置对于最终钦定的贡献就是 \(F_i \times G_i\)，实际上就是这两个的卷积。

我们可以把 \(c_i\) 相同的 \(G\) 的系数求和，记作 \(H_c\)，最后要求的就是 \(\sum_{c=0}^{n-1} (1+x)^c \times H_c\)，这个你可以把它拆成 \(((H_{n-1} \times (x+1) +H_{n-2}) \times (x+1) +H_{n-3})...\) 这样的形式，每个括号一个乘单项式一个加法，都是 \(O(n)\) 的，\(n\) 个括号就是 \(O(n^2)\)，最终得到的系数就是钦定 \(x\) 个的方案，二项式反演即可。

这题主要还是把左侧恰好变为钦定再和右边卷积比较巧妙，这样做不会影响正确性是因为他时刻都满足二项式反演需要的形式 \(g_S= \sum_{ S \subseteq T} f_T\)，之前都没见过这种东西，感觉比较高手。