折半警报器/二进制警报器

首先给出一类问题：
我们需要支持两个操作。

• 单点加
• 给出一个大小不超过 \(k\) 的集合 \(S(x)\)，当集合中的元素和第一次超过 \(v\) 时，报告这个 \(x\)。

折半警报器

注意到一个惊天地的事实，设 \(y = v-\sum_{i \in S(x)} a_i\)。若集合 \(S(x)\) 需要满足要求，一定存在一个位置 \(i\) 满足 \(i\in S(x)\)， 且 \(\Delta a_i \geq \lceil \frac{y}{sz(S(x))}\rceil\)，由抽屉原理可得。

那我们就有一个及其暴力的做法就是，你对于每个位置开一个堆存它对应的二操作有哪些，按照上述的 \(a_i + \lceil \frac{y}{sz(S(x))}\rceil\) 从小往大一个一个看，当 \(a'_i \geq\) 这个报警值时就更新所有这个集合对应的所有位置的报警值，直到最后满足要求。

分析一下复杂度，首先二操作复杂度 \(O(n k \log n)\)。

一操作复杂度对于一个二操作的集合，最多被报警 \(O(\log _{\frac{k+1}{k}} V)\) 次，对于一次报警的复杂度为 \(O(k \log n)\)，每次要更新集合的报警值和堆，那么复杂度为 \(O(q k \log n \log_{\frac{k+1}{k}} V)\)。

其中 \(log_{\frac{k+1}{k}} V\) 几乎可以视作 \(k \log V\)，那么总复杂度大约 \(O(q k^2 \log n \log V)\)。

二进制警报器

上面的做法过于慢了，这里有一种更加聪明的做法。

对于报警次数没有改变，但是对于每次报警的复杂度做了很大优化。

考虑换一种报警方式，我们对于每个操作二的集合 \(S(x)\)，维护一个 \(h_x\)，若集合中的值在操作时经过了 \(2^{h_x}\) 的倍数，我们就进行报警，对于这里的 \(h_x\)，若可以在所有位置都不报警情况满足要求，则将 \(h_x\) 降低 \(1\)。

这里若 \(x\) 在操作 \(w\) 后经过了经过了 \(v\) 指 $v\in (a_x,a_x+w] $。

那么此时的 \(v_x-\sum_{i \in S(x)} a_i\) 为 \(O(k 2^{h_x})\) 量级，显然对于一个 \(h\) 只会操作 \(O(k)\) 次，因为一个位置被操作一次之后的每一次都至少增加 \(2^{h_x}\)。

那么一个操作只会报警 \(O(k \log V)\) 次，我们可以通过一些手法将每次更新复杂度达到均摊 \(O(k\log V)\)。

具体而言，我们对每个 \((位置，h)\) 开一个 vector，记 \(next(x,v)\) 表示 \(x\) 经过的下一个 \(2^v\) 的倍数是哪一个。对于每个二操作集合维护一个 \(rem_x\)，表示 \(v-\sum_{i\in S(x)} a_i\) 减去集合中所有值到达未报警的最大限度后还剩下多少值。

那么对于一次单点操作，我们可以找到所有会报警的二进值位，然后我们把所有这些二进制位对应的操作二都找出来，并且更新这些操作二的 \(rem_x\)。

• \(rem_x\leq 0\)，则说明需要更新这个操作的 \(h_x\)，直接重构更新 \(rem_x\)。

• 否则不需要，把这个 操作 \(x\) 放回 vector \((位置,h_x)\)。

分析一下这样做的复杂度若此时 \(rem_x \gt 0\) 那么则不要更新，直接取出来再放进去，这是 \(O(1)\) 的。

若要更新，则一个操作只会更新 \(log V\) 次，一次复杂度为 \(O(k)\) 暴力重构。

那么总复杂度为 \(O(n k \log V)\)。

下面做法比上面更新快的原因是。

• 我们不需要开个堆，因为每次我们可以遍历二进制位，直接找到所有会报警的位置。
• 我们每次不需要实时更新集合其他位置的报警值，因为这里报警值的定义只和 \(h_x\) 与 \(a_i\) 相关，而上面的与集合整体的值相关。
• 我们可以根据定义维护 \(rem_x\) 从而可以每次都在 \(h\) 变化时再重构。