数论

数论

同余

性质

• \(+\) \(-\) \(\times\) 号都可以进行边运算边取模，但是 \(\div\) 不可以，需要使用逆元。
• 所以可知 模运算满足： 结合律，交换律，分配律 。
• 若 \(a\) , \(b\) 除以 \(m\) 的余数相同， 那么就称 \(a\) , \(b\) 模 \(m\) 互余 ， 记作 \(a \equiv b\) $(mod $ \(m)\)
• 模 \(m\) 的同余类一共有 \(m\) 个，它们构成 \(m\) 的完全剩余系 。
• 同余是等价关系，即同余具有自反性,对称性,传递性.
• 若存在 \(a \equiv b\) $(mod $ \(m)\) , 则满足\(a^k \equiv b^k\) $(mod $ \(m)\)
• 若存在 \(a \equiv b\) $(mod $ \(m)\) , 且满足\(d \mid a\) , \(d \mid b\) , \(d \mid m\) ,则满足$ {a\over d} \equiv {b\over d}$ $(mod $ \({m\over d})\)

欧拉定理

• \({\varphi(p)}\) 表示在 \(1 \sim {p-1}\) 中与 \(p\) 互质的数的个数

性质

• 若 \(n\) 为质数，则 \({\varphi(p)} = p-1\)
• \({\varphi(p)} = p \times \prod_{{p为质数}{\ }{c \mid p}} \frac{1}{c} (c\in 1\sim{p-1})\)
• \({\varphi(p^k)} = p^{k-1} \times (k-1)\)
• 因为欧拉函数为积性函数，所以当 \(a，b\)为质数时，有\({\varphi(ab)} = {\varphi(a)} \times {\varphi(b)}\)

由性质2可得\(\Theta(\sqrt{n})\)求欧拉函数的方法，代码如下。

int phi(int x){
	int n=x;
	int sum=n;
	for(int i=2;i*i<=n;i++){
		if(x%i)	continue;
		sum=sum/i*(i-1);
		while(x%i==0)	x/=i;
	}
	if(x>=2)	sum=sum/x*(x-1);
	return sum;
}

_若 \(a\) ，\(p\) 互质 ，则\(a^{\varphi(p)} \equiv 1\) $(mod $ \(p)\)

证明：我们可以构造出一个数列\({x_1,x_2,x_3,…，x_{\varphi(p)}}\),为模 \(p\) 的简单剩余系，那么则\({ax_1,ax_2,ax_3,…，ax_{\varphi(p)}}\)也为模 \(p\) 的简单剩余系。因为\(a\) ，\(p\) 互质，所以\({x_1x_2x_3…x_{\varphi(p)}}\) $(mod $ \(p) \equiv a{x_1 \times ax_2 \times ax_3 \times … \times ax_{\varphi(p)}} \equiv a^{\varphi(p)}{x_1x_2x_3…x_{\varphi(p)}}\) $(mod $ \(p)\) ，约分后即证

费马小定理

若 \(p\) 是质数，$\forall a\in \tt Z $ ，\(a^p \equiv a\) $(mod $ \(p)\) ，若 \(a\) ，\(p\) 互质，那么有 \(a^{p-1} \equiv 1\) $(mod $ \(p)\)

证明为欧拉定理中当 \(p\) 为质数，\(\varphi(p)=p-1\) 的情况

欧几里得算法（辗转相除法）

• \({gcd(a,b)=gcd(b,a \% b )}\)

裴蜀定理(扩欧)

• 对于任意整数 \(a,b\),一定存在一对整数 \(x,y\) 满足 \(ax+by=gcd(a,b)\)

证明：

• 当 \(b=0\) 时，一定存在有 \(x=1,y=0\) 的特解
• 其他时候 会得到 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)，可以写成\(gcd(b,a-b\times\lfloor{a/b}\rfloor)\),所以 \(bx+(a\%b)y=bx+({a-b\times\lfloor{a/b}\rfloor})y\)
  -所以 \(ax+by\) 可以换为 \(ay+b(x-y\times\lfloor{a/b}\rfloor)\)
• 通过这样迭代递归一定可以使原式得到解

例题：

仪仗队

• 观察题目可以得到满足要求的点一定要满足 \(gcd(x,y)=1\)，证明很简单，如果不满足，那么会被 \((x\div gcd(x,y),y \div gcd(x,y))\)挡住
• 暴力加 复杂度 \(\Theta(n^2)\)。
• 考虑优化，发现这个东西和每个数的欧拉函数有点相似，于是可以预处理出每个数的欧拉函数，然后\(\Theta(n)\)遍历，
• 注意：本思想是以（1,1）上方的（2,2）作为第一个点，然后把第1列，第1排的点和（2，2）特殊处理一下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,prime[10000010],st[10000100],oprime[10000100];
void olprimes(){
	int cnt=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!st[i]){
			prime[++cnt]=i;
			oprime[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=n&&prime[j]<=n/i;j++){
			st[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				oprime[i*prime[j]]=prime[j]*oprime[i];
				break;
			}
			oprime[i*prime[j]]=prime[j]*oprime[i]-oprime[i];
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	int ans=0;
	olprimes();
	for(int i=1;i<n;i++){
		ans+=oprime[i];		
	}
    if(ans==0){
        cout<<0;
        return 0;
    }
	cout<<ans*2+3;
	return 0;
}