不等式学习笔记

岁岁花藻檐下共将棠梨煎雪，
自总角至你我某日辗转天边。
天淡天青，宿雨沾襟，
一年一会信笺却只见寥寥数言。

——银临《棠梨煎雪》

AM-GM 均值不等式

AM-GM不等式，又称均值定理，基本不等式。

二元形式

对于\(a>0,b>0\)，有\(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\).

其中\(\frac{a+b}{2}\)为\(a\)和\(b\)的算术平均值，\(\sqrt{ab}\)为\(a\)和\(b\)的几何平均值。

引入调和平均值\(\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)和平方平均值\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\),得到一条不等式链：

\(\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\) .

取等条件：\(a = b\)。

也就是调和平均值\(\leq\)几何平均值\(\leq\)算术平均值\(\leq\)平方平均值。

多元形式

将二元形式推广至多元形式，对于\(a_i \geq 0\)，有\(\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}} \leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} a_i} \leq \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i^2}{n}}\) .

取等条件为：\(a_1=a_2=...=a_n\)。

加权形式

特殊形式：对于\(a_i \geq 0 , w_i \geq 0\)且\(\sum_{i=1}^{n}w_i = 1\)时，有\(\prod_{i=1}^{n} a_{i}^{w_i} \leq \sum_{i=1}^{n} w_i a_i\) .

对数均值不等式

参考资料：link.

首先引入对数均值\(L(a,b)\) ：对于\(a>0,b>0\)

当\(a=b\)时，\(L(a,b) = a\)；
当\(a \neq b\)时，\(L(a,b) = \frac{a-b}{\ln{a}-\ln{b}}\).

结论：对于\(a>0,b>0\)，有\(\frac{a+b}{2} \geq L(a,b) \geq \sqrt{ab}\).