批量梯度下降(BGD)、随机梯度下降(SGD)以及小批量梯度下降(MBGD)的理解

  梯度下降法作为机器学习中较常使用的优化算法,其有着三种不同的形式:批量梯度下降(Batch Gradient Descent)、随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent)以及小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent)。其中小批量梯度下降法也常用在深度学习中进行模型的训练。接下来,我们将对这三种不同的梯度下降法进行理解。
  为了便于理解,这里我们将使用只含有一个特征的线性回归来展开。此时线性回归的假设函数为:
\[ h_{\theta} (x^{(i)})=\theta_1 x^{(i)}+\theta_0 \]
  其中 $ i=1,2,...,m $ 表示样本数。
  对应的目标函数(代价函数)即为:
\[ J(\theta_0, \theta_1) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \]
  下图为 $ J(\theta_0,\theta_1) $ 与参数 $ \theta_0,\theta_1 $ 的关系的图:



1、批量梯度下降(Batch Gradient Descent,BGD)

  批量梯度下降法是最原始的形式,它是指在每一次迭代时使用所有样本来进行梯度的更新。从数学上理解如下:
  (1)对目标函数求偏导:
\[ \frac{\Delta J(\theta_0,\theta_1)}{\Delta \theta_j} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)} \]
  其中 $ i=1,2,...,m $ 表示样本数, $ j = 0,1 $ 表示特征数,这里我们使用了偏置项 $ x_0^{(i)} = 1 $ 。
  (2)每次迭代对参数进行更新:
\[ \theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)} \]
  注意这里更新时存在一个求和函数,即为对所有样本进行计算处理,可与下文SGD法进行比较。
  伪代码形式为:
  repeat{
       $ \theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)} $
      (for j =0,1)
  }


  优点:
  (1)一次迭代是对所有样本进行计算,此时利用矩阵进行操作,实现了并行。
  (2)由全数据集确定的方向能够更好地代表样本总体,从而更准确地朝向极值所在的方向。当目标函数为凸函数时,BGD一定能够得到全局最优。
  缺点:
  (1)当样本数目 $ m $ 很大时,每迭代一步都需要对所有样本计算,训练过程会很慢。
  从迭代的次数上来看,BGD迭代的次数相对较少。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下:



2、随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent,SGD)

  随机梯度下降法不同于批量梯度下降,随机梯度下降是每次迭代使用一个样本来对参数进行更新。使得训练速度加快。
  对于一个样本的目标函数为:
\[ J^{(i)}(\theta_0,\theta_1) = \frac{1}{2}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2 \]
  (1)对目标函数求偏导:
\[ \frac{\Delta J^{(i)}(\theta_0,\theta_1)}{\theta_j} = (h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x^{(i)}_j \]
  (2)参数更新:
\[ \theta_j := \theta_j - \alpha (h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x^{(i)}_j \]
  注意,这里不再有求和符号
  伪代码形式为:
  repeat{
    for i=1,...,m{
       $ \theta_j := \theta_j -\alpha (h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)} $
      (for j =0,1)
    }
  }


  优点:
  (1)由于不是在全部训练数据上的损失函数,而是在每轮迭代中,随机优化某一条训练数据上的损失函数,这样每一轮参数的更新速度大大加快。
  缺点:
  (1)准确度下降。由于即使在目标函数为强凸函数的情况下,SGD仍旧无法做到线性收敛。
  (2)可能会收敛到局部最优,由于单个样本并不能代表全体样本的趋势。
  (3)不易于并行实现。


  解释一下为什么SGD收敛速度比BGD要快:
  答:这里我们假设有30W个样本,对于BGD而言,每次迭代需要计算30W个样本才能对参数进行一次更新,需要求得最小值可能需要多次迭代(假设这里是10);而对于SGD,每次更新参数只需要一个样本,因此若使用这30W个样本进行参数更新,则参数会被更新(迭代)30W次,而这期间,SGD就能保证能够收敛到一个合适的最小值上了。也就是说,在收敛时,BGD计算了 $ 10 \times 30W $ 次,而SGD只计算了 $ 1 \times 30W $ 次。


  从迭代的次数上来看,SGD迭代的次数较多,在解空间的搜索过程看起来很盲目。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下:



3、小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent, MBGD)

  小批量梯度下降,是对批量梯度下降以及随机梯度下降的一个折中办法。其思想是:每次迭代 使用 ** batch_size** 个样本来对参数进行更新。
  这里我们假设 $ batch_size = 10 $ ,样本数 $ m=1000 $ 。
  伪代码形式为:
  repeat{
    for i=1,11,21,31,...,991{
       $ \theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{10} \sum_{k=i}^{(i+9)}(h_{\theta}(x^{(k)})-y^{(k)})x_j^{(k)} $
      (for j =0,1)
    }
  }


  优点:
  (1)通过矩阵运算,每次在一个batch上优化神经网络参数并不会比单个数据慢太多。
  (2)每次使用一个batch可以大大减小收敛所需要的迭代次数,同时可以使收敛到的结果更加接近梯度下降的效果。(比如上例中的30W,设置batch_size=100时,需要迭代3000次,远小于SGD的30W次)
  (3)可实现并行化。
  缺点:
  (1)batch_size的不当选择可能会带来一些问题。


  batcha_size的选择带来的影响:
  (1)在合理地范围内,增大batch_size的好处:
    a. 内存利用率提高了,大矩阵乘法的并行化效率提高。
    b. 跑完一次 epoch(全数据集)所需的迭代次数减少,对于相同数据量的处理速度进一步加快。
    c. 在一定范围内,一般来说 Batch_Size 越大,其确定的下降方向越准,引起训练震荡越小。
  (2)盲目增大batch_size的坏处:
    a. 内存利用率提高了,但是内存容量可能撑不住了。
    b. 跑完一次 epoch(全数据集)所需的迭代次数减少,要想达到相同的精度,其所花费的时间大大增加了,从而对参数的修正也就显得更加缓慢。
    c. Batch_Size 增大到一定程度,其确定的下降方向已经基本不再变化。


  下图显示了三种梯度下降算法的收敛过程:



引用及参考:
[1] https://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5089753.html
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/37714263
[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/30891055
[4] https://www.zhihu.com/question/40892922/answer/231600231

写在最后:本文参考以上资料进行整合与总结,文章中可能出现理解不当的地方,若有所见解或异议可在下方评论,谢谢!
若需转载请注明https://www.cnblogs.com/lliuye/p/9451903.html

posted @ 2018-08-10 11:57  LLLiuye  阅读(...)  评论(...编辑  收藏