排列组合

错排问题

对于第n信，必然放在1~n-1号信封中。

假设n号信放在1号信封中，考虑一号信放在哪

放在n号信封中，还剩的n-2封信和信封构成了n-2的子问题f(n-2)

放在k号信封（\(2\le k< n\)）f(n-1)

因为n可以放在n-1个位置。

所以(f(n-1)+f(n-2))*(n-1)

P1595 信封问题

板子题，不多说了

P4071 [SDOI2016]排列计数

简而言之就是选择m个位置不错排，n-m个位置错排

P2822 [NOIP2016 提高组] 组合数问题

杨辉三角版二维前缀和预处理即可。记得处理细节

卢卡斯定理

\(C_n^m \equiv C_{n/d}^{m/d}\times C_{n\%d}^{m\%d}\pmod p\) ，p为质数

扩展卢卡斯

未讲，待填，省队知识。

技巧练习

例一：

\(n\)个询问，求 \(C_b^a\pmod p\)

数据范围：\(n\le 10^5\)且\(\ a,b\le 10^3\)

数字三角形即可

例二：

\(n\)个询问，求 \(C_b^a\pmod{10^9+7}\)

数据范围：\(n\le 10^5\)且\(\ a,b\le 10^5\)

预处理阶乘及其逆元

例三：

\(n\)个询问，求 \(C_b^a\pmod{p}\)，\(p\) 为质数

数据范围：\(n\le 20\)且\(\ a,b\le 10^{18}\)

使用卢卡斯即可

例四：

\(n\)个询问，求 \(C_b^a\)

数据范围：\(n\le 10^5\)且\(\ a,b\le 5\times 10^3\)

由 \(C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}\) ，而这个数又必须是整数

根据阶乘分解，我们可以将三个阶乘的质因数分解，分子质因数分解后减去分母质因数分解。

剩下的次幂数还原相乘即可。

于是只需要写大数乘法。

卡特兰数

设卡特兰数的第 \(n\) 项为 \(Cat_n\)

卡特兰数前几项（从第0项开始）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429

\[Cat_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1} \]

满足条件的01序列

我们来用这道题来解释卡特兰数。

题解

绿色线是边长为n的正方形对角线，此时y=x，若某点在绿线上方，则不符合条件，将此点及后面经过的点关于y=x+1对称，一定会经过点(n-1,n+1)。

这一步的目的其实是区分符合与不符合条件的路径。

换句话说，所有不符合条件的点，一定会经过y=x+1，所有符合条件的点，都不会经过（废话嘛，经过了就y>x了）。

组合笔记&杂题

排列：从 \(n\) 个物品选 \(k\) 个，问有多少种顺序，记 \(A_n^k\)

\[A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\times (n-1)\times (n-2)\cdots (n-k+1) \]

组合：从 \(n\) 个物品选 \(k\) 个，问有多少种方案，记 \(C_n^k\)，也记为 $\binom{n}{k} $ 。

\[C_n^k=\frac{A_n^k}{A_k^k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n\times (n-1)\times (n-2)\cdots (n-k+1)}{k!} \]

\(C_n^0=1\) ，\(C_n^1=n\) ，\(C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}\) ，\(C_n^k=C_n^{n-k}\)

序列统计

给定三个正整数 \(N,L\) 和 \(R\)，统计长度在 \(1\) 到 \(N\) 之间，元素大小都在 \(L\) 到 \(R\) 之间的单调不降序列的数量。输出答案对 \(10^6+3\) 取模的结果。

\(1\le N,L,R\le 10^9,1\le T\le 100\)，输入数据保证 \(L\le R\)。

设目标序列为 \(a\) 。

\[L\le a_1\le a_2\cdots\le a_n\le R \]

我们来做一个映射。

\[0\le a_1\le a_2\cdots\le a_n\le R-L \]

设 \(t\) 是 \(a\) 的差分序列。则 \(t_1=a_1,t_2=a_2-a_1\cdots t_n=a_n-a_{n-1}\)

所以

\[x_1+x_2+x_3\cdots x_n\le R-L \]

因为是不大于，就设一个 \(x_{n+1}\) ，使 \({x_1+x_2+x_3\cdots x_{n+1}}=R-L\)

（简单来说 \(x_{n+1}\) 就是去掉不大于……）

所以，就相当于有 \(R-L\) 个苹果，分成 \(n+1\) 份，每份可以等于0。

直接可以做允许为0的插板即可。

\[C_{R-L-1+n}^{n} \]

（好吧我承认我一开始没看到长度在 \(1\) 到 \(N\) 之间）

于是现在就变成求

\[\sum_{i=1}^{i\le n} C_{R-L+i+1}^{i} \]

杂项

等比数列：\(S_n=a_0\frac{q^n-1}{q-1}\)

n以内质数个数大概是 \(\frac{n}{\ln\ n}\)，插一条证明（虽然这篇文章大部分都是在讲别的……）

在1_{2e9范围内，1}N中任何数的不同质因子都不会超过10个，且所有质因子的指数总和不超过30

证明：

因为最小的11个质数的乘积大于2e9，且2^31>2e9，所以成立

\(a\bmod b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor\times b\)