线性同余方程组

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

上述问题便是一个具体线性同余方程组。所谓线性同余方程组，就是形如：

\[\left\{\begin{array}{c} {x \equiv a_{1}\pmod {m_{1}}} \\ {x \equiv a_{2}\pmod {m_{2}}} \\ {\vdots} \\ {x \equiv a_{n}\pmod {m_{n}} }\end{array}\right. \]

的方程组。

中国剩余定理

中国剩余定理是用于解决线性同余方程组的问题。
要使用中国剩余定理，必须得保证任意两个模数之间互质。

先说结论，上述方程的解为：

\[x = \sum_{i = 1}^{n}a_iM_ib_i \\ \]

其中，\(M_i = \prod_{j = 1（i \neq j）}^{n}m_j\)， \(b_i\)为 \(M_i\)的逆元。

对于中国剩余定理，我们可以这样理解：

对于方程组中，第 \(i\)个方程，如果能构造出这样一个解 \(x_i\)，使得 \(x_i \equiv a_i \pmod {m_i}\)，而 \(x_i \equiv 0 \pmod {m_j} (i \neq j)\)，那么最终方程组的答案就是 \(\sum_{i = 1}^{n} x_i\)。

那么问题就换成了如何构造这样的一个解 \(x_i\)。要使得 \(x_i\)满足第二个条件，那么只需要 \(x_i\)里含有 \(M_i\)即可。
然后我们对 \(M_i\)求逆元 \(b_i\)，也就是找到一个 \(b_i\)使其满足：

\[M_i b_i \equiv 1 \pmod {m_i} \]

由于 \(M_i\)与 \(m_i\)互质，所以逆元肯定存在。（这也是为什么中国剩余定理要求任意两个模数之间互质的原因）
之后我们两边乘以一个 \(a_i\)，就会得到：

\[a_i M_i b_i \equiv a_i \pmod {m_i} \]

那么， \(x_i = a_i M_i b_i\)就是我们所需要构造的解了。

扩展中国剩余定理

当线性同余方程组中，存在两个模数不互质的时候，就要用到扩展中国剩余定理。
我们可以用数学归纳法来证明（理解/构造）扩展中国剩余定理。

首先，对于第一个方程，\(x_1 = a_1\)显然是第一个方程的解。

然后对于第\(k\)个方程，定义 \(m = {\rm{lcm}}\{m_1, m_2, \cdots, m_{k - 1}\}\), \(x_{k - 1}\)为前 \(k - 1\)个方程的解。那么对于\(x_{k - 1} + tm\)肯定也是前 \(k - 1\)个方程的解（\(tm\)会被模掉）。那么在求解第 \(k\)个方程的时候，我们只需要找到一个参数 \(t\)使得满足 \(x_{k - 1} + tm \equiv a_k \pmod {m_k}\)。那么

\[x_k = x_{k - 1} + tm \]

对于 \(x_{k - 1} + tm \equiv a_k \pmod {m_k}\)，这显然就是一个线性同余方程，用exgcd即可求解。当这个线性同余方程无解的时候，整个方程组也无解。
也就是：

\[\gcd{\{m, m_k\}} \mid a_k - x_{k - 1} \]

时，同余方程有解。
整个过程就类似于两两个方程的解不断的合并，直到最后合并剩下最后一个解。

所以，当仅仅是判断方程组有没有解的情况，我们可以判断所有任意两个方程 \(i, j\)，判断是否满足 \(\gcd{\{m_i, m_j\}} \mid a_i - a_j\)。不满足时，整个方程组无解。