随笔分类 - 数据结构和算法
摘要：配对堆(Pairing Heap)是一个简单实用的min-heap结构（当然也可以做成max-heap）。它是一颗多路树(multiway tree)，类似于Leftist Heap和Skew Heap，但是与Binomial Tree和Fibonacci Heap不一样。它的基本操作是两个多路树的连接(link)，所以取名叫Pairing Heap。连接操作(参考以下实现中的方法linkPair)类似于Binomial Tree和Fibonacci Heap中的link操作，即将root key值最大的树作为key值最小的树的孩子（一般作为最左边的孩子，特别是Binomial Heap必须这
阅读全文
摘要：Fibonacci Heap（简称F-Heap）是一种基于二项堆的非常灵活的数据结构。它与二项堆不同的地方在于：1）root list和任何结点的child list使用双向循环链表，而且这些lists中的结点不再有先后次序（Binomial Heap中root list的根结点按degree从小到大顺序，child list的结点按degree从大到小顺序）；2）二项堆中任何一颗Binomial Tree中根结点的degree是最大的，而F-Heap中由于decrease-key操作(cut和cascading cut)的缘故，并不能保证根结点的degree最大；3）二项堆中任何结点（deg
阅读全文
摘要：Just like leftist or skew heaps, a binomial heap is also a mergeable heap data structure. But unlike those 'lopsided' heaps that are composed of only single binary tree, a binomial heap consists of a set of trees that are called binomial trees. Binomial trees are so called because the number
阅读全文
摘要：斜堆(Skew Heap)基于左倾堆的概念，也是一个用于快速合并的堆结构，但它可自我调整(self-adjusting)，每一个merge操作的平摊成本仍为O(logN)，其中N为结点数，而且和左倾堆相比，每个结点没有npl属性，从而节省了空间。斜堆并不能保证左倾，但是每一个合并操作（也是采取右路合并）同时需要无条件交换（而左倾堆中只是根据左右子树的npl值不符合要求时才交换）左右子树，让新合并的右子树变成左子树，原来的左子树变成新的右子树（这有点类似于Splay Tree中的做法），从而可以达到平摊意义上的左倾效果。注意：一颗子树r和NULL子树合并时并不需要交换r子树的左右子树。由于斜堆并
阅读全文
摘要：Tarjan算法解决LCA查询要求事先知道全部查询提问，如果LCA要求即时询问即时回答，就需要用到下面介绍的在线算法。在线算法需要对任意树进行预处理，设输入树的结点个数为n，该算法的预处理时间和空间复杂度都是O(n)，查询复杂度为O(1)。本算法的基本思想是将对一棵树T做预处理，生成每个结点的额外信息，然后利用结点的额外信息将T映射到一颗完全二叉树B，最后利用完全二叉树的特性，通过二进制位运算可以在常数时间内查询出任何两个结点x和y的LCA。*****************预处理*****************预处理T需要生成每个结点的inlabel值，ascendant值，parent和
阅读全文
摘要：左倾堆(Leftist Heap)是一个便于merge操作的数据结构，通过左倾树(Leftist Tree)实现。左倾树是一种特殊的二叉树,树中结点除了满足普通二叉堆的key大小规定外，还要求每一个结点X的左子树的Null Path Length（NPL)值不小于右子树的NPL值，因此这也是与普通二叉堆的区别：虽然普通二叉堆也满足左倾树的条件，左倾树往往不是一棵完全二叉树(而且通常不平衡)，从而左倾树不能用数组表示了。上面提到的NPL指的是某个结点到NULL结点（总共有n+1个NULL结点）的最短路径长度，规定NULL结点本身的NPL等于-1，叶子结点的NPL等于0,非叶结点的NPL等于它的两
阅读全文
摘要：LCA的Tarjan离线(offline)算法中，通过后序DFS遍历多叉树(结点数为n)，利用并查集算法(disjoint sets‘ union-find operations)，可以在线性时间O(n+|P|)内找到事先给定（即offline的含义）的|P|个成对结点的LCA。具体做法如下：1）首先所有的结点通过makeSet(x)调用放到各自独立集合中，然后在用lca(u)递归调用任何一个结点u时，按照从左到右顺序依次遍历u的所有子树v1,v2...vk，在v1被访问之后，v1的属性visited标记为true（此时u的属性visited还是false），然后将v1子树中所有结点与u结点合
阅读全文
摘要：树状数组中每个元素覆盖了不同长度的子区间，类似于稀疏表(ST)算法的思想，每一个数组元素存储了输入数列A在该区间的最小值下标。注意：这里树状数组不是用来存储区间累加值，而是区间的最小值下标。这里针对预处理阶段提供两个算法：方法1(参考以下实现代码中的方法preprocess)采用类似于累加和中的update做法，每一个元素A[i]需要处理树状数组T中O(logn)个受影响的元素，因此预处理复杂度为O(nlogn)。方法2(参考以下实现代码中的方法preprocess2或preprocess3)利用DP（动态规划）思想，观察到树状数组中每一个下标为i的元素覆盖的区间都可以划分为：r个子区间 +
阅读全文
摘要：树状数组(BIT - Binary Indexed Tree)是一个用数组表示的树型数据结构，最早用于频次累计表中。树状数组中每个元素维护一个频次表A的特定部分区段的累加和。假设输入动态序列为A，A中元素值可以被修改，如果使用直接蛮力法来查询一个区间i..j的累加和，复杂度为O(n)，而树状数组由于每个元素存储的是部分累加和，通过数组下标的二进制索引规律可以在O(logn)时间内找到1...j或i...j的累加和。存储空间只需要维护树状数组T，A的元素值可以很容易地从T得到（即特例i=j时的区间查询）。数组A下标通常从0开始，而树状数组的有效下标是从1开始。下面关于lowbit的讨论假设数组A
阅读全文
摘要：在普通RMQ问题的<O(n),O(1)>算法中，由于需要构造Cartesian Tree和得到Euler tour，两个2*n-1大小的数组E和L使得空间消耗增加O(4*n)。本文介绍的Fischer-Heun算法绕过构建Cartesian Tree的步骤，也不需要将普通RMQ转化为RMQ+1/-1问题再求解。该算法的基本思想也是采用RMQ+1/-1的分组处理, 分别生成组内的Lookup Table和组外的稀疏表。但是在每个组的大小缩小了一倍，成为s=(logn)/4。由于每个组对应一颗笛卡尔树，若两个不同的组对应的两棵笛卡尔树相同的话，那么这两个组的lookup table完全
阅读全文
摘要：基本思想是通过对问题的转化，最终得到<O(n),O(1)>时间复杂度。该算法分以下两大步骤：1）将RMQ问题转化为LCA问题：先构建输入数列A的笛卡尔树，构建笛卡尔树的复杂度为O(n)。2）将LCA问题转化为RMQ+1/-1问题：通过对笛卡尔树的DFS遍历得到欧拉路径(Euler Tour)，建立三个数组E,L和R。其中E和L大小是2*n-1，E中元素表示笛卡尔树中每个结点的label值（实际上就是数列A的下标索引值），L中元素对应欧拉路径上每一个被访问结点的深度（即从root到该结点的深度，root本身的深度为0）; R是笛卡尔树中的每一个结点第一次被访问时在E中的位置，即E[R
阅读全文
摘要：RMQ+1/-1问题要求数列中相邻两个元素相差+1或-1。利用这个限定条件可以使该算法复杂度总体上达到<O(n),O(1)>。具体做法是：1) 设数列A的大小为n，先对数列A分组，每组大小为b=1/2.logn （之所以这样分是为了将预处理复杂度从O(nlogn)降为O(n)），共分为n/b个组；以下第2到第4步完成RMQ+1/-1问题的预处理阶段(参考以下实现中的preprocess方法)。2）生成O(sqrt(n))个LU表P[][]和一个block类型数组T[]: 对每个组内部进行预处理(inblock preprocessing)（参考以下实现中的makeLUTable方法
阅读全文
摘要：ST(Sparse Table)算法的基本思想是，预先计算从起点A[i]开始长度为2的j次方(j=0,1...logn)的区间的最小值，然后在查询时将任何一个区间A[i..j]划分为两个预处理好的可能重叠的区间，取这两个重叠区间的最小值。在预处理阶段，从起点A[i]开始，任何一个长度为2^j的区间都可以划分为两个长度2^(j-1)的区间，其中第一个区间的范围为：i...i+2^(j-1)-1；第二个区间的范围为：i+2^(j-1)...i+2^j-1。用M[i,j]表示从A[i]开始，长度为2^j的区间（即A[i]...A[i+2^j-1]）最小值对应的下标，那么A[M[i,j]] = min
阅读全文
摘要：RMQ（Range Minimum Query)问题是计算一个输入数列A[0...n-1]从位置i到位置j之间的最小值，即RMQ[i,j]=min{A[k], k=i,i+1...j}。RMQ的解法有很多，比如Sparse Table（ST）算法（注意这个ST缩写不是指Segement Tree哦）和转化为特殊的+1/-1 RMQ的算法。为了查询的方便，RMQ算法需要对数列A进行预处理(preprocessing)，如果用<f(n),g(n)>分别表示RMQ算法的预处理复杂度和查询复杂度的话，用线段树(segment tree)解决RMQ问题的复杂度为<O(n),O(logn
阅读全文
摘要：设模式串的长度为m，文本的长度为n，使用后缀数组做文本匹配，如果只用后缀表suftab和折半查找算法的复杂度为O(m*logn)； 如果使用最长公共前缀表lcptab和折半查找算法，复杂度可以降至O(m+logn)；使用增强型后缀数组(ESA)表childtab，复杂度为O(m)。本文使用复杂度为O(m)的算法，在匹配之前要求先构造SA（下面采用DC3算法构造后缀数组），然后计算出后缀数组的suftab,lcptab和childtab。由于通过childtab可以在O(1)时间复杂度内找到每一个lcp-interval的所有child-interval，因此这跟后缀树的自顶向下匹配模式串的算法
阅读全文
摘要：相比后缀树，后缀数组的优势是存储空间小，相关算法效率高。但是若存放childtab还是使用up，down和nextLIndex三个属性，这显然不符合后缀数组节省空间的"第一原则"。幸运的是，可以压缩存储childtab，将三个属性up，down和nextLIndex变成一个一维数组。后缀数组childtab压缩存储的基本思路是保留所有的nextLIndex值（因为nextLIndex没有冗余），将大部分冗余的down值剔除（剩下部分的down值存放到空白的nextLIndex位置中），然后将up值放到空白的nextLIndex位置。首先给出lcp-interval和chil
阅读全文
摘要：后缀数组自底向上遍历等价于后缀树的自底向上遍历。由于后缀数组不是树型结构，在遍历时除了SA本身之外还需要额外的信息，这时Suffix Array就是一个增强的后缀数组(Enhanced Suffix Array)了。该算法使用后缀数组的一个增强信息---LCP表，并通过堆栈模拟自底向上的遍历。遍历的结果就是一颗虚拟的lcp-interval树，其中每一个结点对应后缀树的一个内部结点。有些应用中，遍历时需要知道每个结点的孩子信息，因此在下面的实现中提供了两个版本bottomUpTraverseWithoutChildren和bottomUpTraverseWithChildren。需要说明的是，
阅读全文
摘要：静态链表插入排序(List Insertion Sort)算法是直接插入排序的一个变种。它的改进目的是减少在直接插入排序中的移动次数（当然这个改进并没有降低复杂度，仍为O(n^2）)，因此在原输入数据的基础上附加了一个静态链表（为了减少空间的消耗，静态链表实际上就是用等长的下标数组link来模拟的，而不需要建立一个等长的动态链结构）。该算法的缺点是：虽然减少了移动次数，但是需要增加一个等长度的link数组，所以也是用空间换取时间的做法。设输入数组为v[], 在按升序排好序的状态下，设静态链表link[]中某个位置i的元素值为x=v[i]，那么link[i]存储的是该元素x的下一个比它大的元素y
阅读全文
摘要：所谓LCP(Longest Common Prefix)是指后缀数组中相邻两个后缀的最长公共前缀的长度。在后缀数组的应用中，LCP是很重要的信息。设后缀数组为SA, 用LCP(i)定义为第SA[i]个后缀和第SA[i-1]个后缀之间的最长公共前缀长度。由于输入文本T的第p个后缀和第p-1个后缀之间存在如下关系：LCP(p) >= LCP(p-1) - 1，因此如果已知第p-1个后缀的LCP(p-1)，那么在计算第p个后缀的LCP(p)时，可以直接跳过第p个后缀的前LCP(p-1)-1个字符，然后在下一个字符位置开始与后缀数组中与p相邻的前一个后缀（设它为文本T的第q个后缀，即q=SA[R
阅读全文
摘要：DC3算法(Difference Cover mod 3)是J. Kärkkäinen和P. Sanders在2003年发表的论文 "Simple Linear Work Suffix Array Construction"中描述的线性时间内构造后缀数组的算法。相对Prefix Doubling（前缀倍增）算法而言，虽然它的渐进时间复杂度比较小，但是常数项比较大。DC3算法的思想类似于找中位数的median of medians算法（http://en.wikipedia.org/wiki/Selection_algorithm），它采用分治思想: 先用
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号