组合数学 (problem)

problem_1

链接 https://www.mxoj.net/problem/P130455?contestId=805

我们先考虑一个 \(O(n^2M)\) 的 \(dp\)

设 \(dp_{i, j}\) 表示考虑当前取出过 \(i\) 种小球, 其中有 \(j\) 个小球只取出过一次的概率

则 \(dp_{i, j}\) 可以转移到 \(dp_{i + 1, j + 1}\) 和 \(dp_{i, j - 1}\) 和 \(dp_{i, j}\), 但由于这个题答案和时间没有任何关系, 其实可以看成只会转移到 \(dp_{i + 1, j + 1}\) 和 \(dp_{i, j - 1}\)

\((i, j) \cdot \frac{n - i}{n} \to (i + 1, j + 1), (i, j) \cdot \frac{j}{n} \to (i, j - 1)\)

即

\((i, j) \cdot \frac{n - i}{n - i + j} \to (i + 1, j + 1), (i, j) \cdot \frac{j}{n - i + j} \to (i, j - 1)\)

虽然上面的东西和正解没有一点关系。

但是考虑到这个题目在组合数学上

我们转换 \(E(x^m)\), 即 \(E(x^m) = E(\sum \limits_{i = 0}^{m} x^{\underline{i}} \cdot \{^{m}_{i}\}) = E(\sum \limits_{i = 0}^{m} \binom{x}{i} \cdot i! \cdot \{_{i}^{m}\}) = \sum \limits_{i = 0}^{m} \cdot i! \cdot \{ _{i}^{m} \} \cdot E(\binom{x}{i})\)

所以我们只需要求 \(E(\binom{x}{i})\) 这个东西有组合意义, 所以我们只需要钦定其中 \(i\) 个一定只选一次就可以了。

时间复杂度 \(O(nM + M^2)\)