组合数学 (PPT)

显然, 这个ppt的作者一道题都不会。(视频也每看完)

1 组合数定义

我们记 \(\binom{n}{m} = C(n, m)\)

\(C\binom{n}{m}\) 表示从 \(n\) 个物品中选 \(m\) 个物品的方案数量。

我们有 \(\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}\)

此处大家可以讲一些关于组合数的恒等式, 如 \(\binom{a}{d} \cdot \binom{c}{d} = \binom{a}{c} \cdot \binom{a - c}{b - c}\)

范德蒙德卷积

\(\sum \limits_{i = 0}^k \binom{n}{i} \cdot \binom{m}{k - i} = \binom{n + m}{k}\)

组合数前缀和

\(\sum \limits_{i = 1}^n \binom {i}{r} = \binom {n + 1}{r + 1}\)

2 二项式定理

\((x + y) ^ n = \sum \limits_{i = 0}^n \binom{n}{i} \cdot x^i \cdot y^{n - i}\)

据说还有

\((x + y)^{\underline{n}} = \sum \limits_{i = 0}^n \binom{n}{i} \cdot x^{\underline{i}} \cdot y^{\underline{n - i}}\)

\((x + y)^{\overline{n}} = \sum \limits_{i = 0}^n \binom{n}{i} \cdot x^{\overline{i}} \cdot y^{\overline{n - i}}\)

3 Lucas 定理

\(\binom{n}{m} \bmod p = \binom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \cdot \binom{n \bmod p}{m \bmod p} \bmod p\)

4 容斥原理

对于 \(|\cup_{i \in S} A_i| = \sum \limits_{T \in S, |T| > 0} (-1)^{|T - 1|} \cdot |\cap_{j \in T} A_j|\)

你可以通过组合数计数和 = 偶数和证明。

5 二项式反演

\(f_n = \sum \limits_{i = 0}^n \binom{n}{i} g_i\) 等价于 \(g_n = \sum \limits_{i = 0}^n \cdot (-1)^{n - i} \cdot \binom{n}{i} f_i\)

\(f_i = \sum \limits_{j = i}^n \binom{j}{i} g_j\) 等价于 \(g_i = \sum \limits_{j = i}^n (-1)^{j - i} \cdot \binom{j}{i} f_j\)

这个东西可以转成多项式乘法形式。

我们以第一个式子为例

所有 \(\frac{g_n}{n!} = \sum \limits_{i = 0}^n ((-1)^{n - i} \cdot \frac{1}{(n - i)!}) \cdot (f_i \cdot \frac{1}{i!})\)

所以可以FFT优化（虽然我不会）

6 斯特林数

\(n \brack k\) 表示把 \(n\) 个元素划分成 \(k\) 个非空轮换的方案数 (即圆排列)