桥

桥

桥是如果从图上删去这条边会使得这张图不连通的边。

有两种方法

1

在图上任意一个环的边都不是桥, 其他的都是。应为如果删去, 儿子段和父亲段就不可达了。

2

首先, 不在DFS树上的边肯定不是桥。

如果一条在 DFS 树上的边不是桥 \(\to\) 它的子树内没有一个节点可以通过多条非树边到达这条边的上面。

对于一个节点 \(u\)

令跳一跳非树边后的节点为 \(v\)

1. 如果 v 还在子树内, 之后的操作和在 \(v\) 处跳一样

所以 它的子树内没有一个节点可以通过多条非树边到达这条边的上面 \(\Leftrightarrow\) 它的子树内没有一个节点可以通过一条非树边到达这条边的上面。

由于 DFS 树的优秀性质, 只需要判断 DFS 序就可以了。

记录当前节点的 DFS 序和子树内能跳到的最高处。

例题 luogu P3375

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;

int low[N], cnt, dfn[N], n, m, u, v;  // 记 low[i] 为 DFS 树上子树 u 内所有节点中，仅通过非树边能够抵挡的节点之中 DFS 序最小值

struct Edge{
  int v, w;
};

vector<Edge>g[N];

vector<int>e;

void dfs(int x, int f){
  dfn[x] = low[x] = ++cnt;
  for(auto [v, w] : g[x]){
    if(!dfn[v]){
      dfs(v, w);
      low[x] = min(low[x], low[v]);
    }
    else if(w != f){
      low[x] = min(low[x], dfn[v]);
    }
  }
  if(f && low[x] == dfn[x]){
    e.push_back(f);
  }
}

int main(){
  cin >> n >> m;
  for(int i = 1; i <= m; ++i){
    cin >> u >> v;
    g[u].push_back({v, i});
    g[v].push_back({u, i});
  }
  dfs(1, 0);
  cout << e.size() << '\n';
  sort(e.begin(), e.end());
  for(auto x : e){
    cout << x << ' ';
  }
  return 0;
}