莫队

莫队

介绍

  • 利用分块进行处理的离线算法；

  • 时间复杂度普遍为 \(O(n\sqrt{n})\) ；

    但会被卡

实现思路

对答案的查询

  • 在已知区间的情况下暴力寻找的目标区间的贡献；

  • 对于已知当前 \([L,R]\) 区间，一共有 \(4\) 种情况：

    1. 加上当前区间左边一格的贡献：

      Add(--L);

      先将当前的下标移至目标格，然后加上当前格的贡献

    2. 加上当前区间右边一格的贡献：

      Add(++R);

      同理

    3. 减去当前区间最左一格的贡献：

      Sub(L++);

      先减去当前下标的贡献，然后将下标移至目标格

    4. 减去当前区间最右一格的贡献：

      Sub(R--);

      同理

  • 对于需要用到的函数 \(Add\) 和 \(Sub\) 分别为：

    • \(Add(x)\) ：按照需求算上第 \(x\) 个元素的贡献；
    • \(Sub(x)\) ：按照需求去除第 \(x\) 个元素的贡献；

分块的优化

如果仅仅只按上面的思路进行对答案的查询，当多次询问依次为：

​ \([1,2],[n-1,n],[1,2],[n-1,n]...\) 时，复杂度便成了 \(O(mn)\) ...

因此，我们需要优化对询问的查询顺序（这就是离线的原因）

  • 将整体的区间分块，块大小为 \(\sqrt{n}\) ，然后再对询问进行排序，进行查找；

  • 对查询操作排序时：

    • 对于左端点 \(L\) 不在同一块的查询，按照 \(L\) 所在块进行排序；
    • 对于左端点 \(L\) 在同一块的查询，按照 \(R\) 的大小排序；

  • 在排序时保留询问的标号，最后按原顺序输出答案；

代码实现

\(Add\) 和 \(Sub\) 函数的实现需要具体按题目要求来。

定义分块

  • 在输入元素时，需要对元素进行分块：

    int n=read();	//输入元素的个数n
int siz=sqrt(n);//计算块的大小
for(int i=1;i<=n;i++){
	a[i]=read();//输入n个元素
	pos[i]=i/siz;//计算第i个元素所属的块 并储存在pos[i]里
}

    在这里的分块会在后面对询问的排序中用到；

处理查询

  • 定义结构体：

    struct Q{
	int l,r,k;
	bool operator<(Q x)const{
        //处理规则如上
		if(pos[l]==pos[x.l])
		return r<x.r;
		return pos[l]<pos[x.l];
	}
}q[N];
/*
当然，也可以去掉bool operator一句
用手打排序函数来代替，例如：
bool cmp(Q x,Q y){
	if(pos[x.l]==pos[y.l])
	return x.r<y.r;
	return pos[x.l]<pos[y.l];
}
在主函数中的sort加上“cmp”函数即可
*/

  • 进行处理：

    for(int i=1;i<=m;i++){
    //处理区间为[l,r]的查询，询问编号为k
	q[i].l=read(),q[i].r=read();
	q[i].k=i;
}
sort(q+1,q+m+1);

查找答案

  • int l=1,r=0;
/*
由于处理的是[l,r]的闭区间
因此空集应表示为l=r+1;
不然集合中会存在一个元素
例如：
	l=1,r=1时
	集合为[1,1]，存在a[1]这个元素
*/
for(int i=1;i<=m;i++){
    //处理情况如上
	while(q[i].l<l)Add(--l);
	while(q[i].r>r)Add(++r);
	while(q[i].l>l)Sub(l++);
	while(q[i].r<r)Sub(r--);
    //由于实际查询的顺序与输入输出不符
    //因此需要改变输出顺序
	ans[q[i].k]=res;
}

例题

P2709 小B的询问

luogu传送门：题目链接

  • 代码：

    #include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
int read(){
	int s=0,f=1;
	char _z=getchar();
	while(_z<'0'||_z>'9'){
		if(_z=='-')
		f=-1;
		_z=getchar();
	}
	while(_z>='0'&&_z<='9'){
		s=(s<<3)+(s<<1)+(_z-'0');
		_z=getchar();
	}
	return s*f;
}
const int N=5e4+10;
typedef long long ll;
int a[N],pos[N],tot[N];
ll res=0,ans[N];
struct Q{
	int l,r,k;
	bool operator<(Q x){
		if(pos[l]==pos[x.l])
		return r<x.r;
		return pos[l]<pos[x.l];
	}
}q[N];
void Add(int x){
	x=a[x];
	res-=tot[x]*tot[x];
	tot[x]++;
	res+=tot[x]*tot[x];
	return;
}
void Sub(int x){
	x=a[x];
	res-=tot[x]*tot[x];
	tot[x]--;
	res+=tot[x]*tot[x];
	return;
}
int main(){
	int n=read(),m=read();
	read();
	int siz=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		pos[i]=i/siz;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		q[i].l=read(),q[i].r=read();
		q[i].k=i;
	}
	sort(q+1,q+m+1);
	int l=1,r=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		while(q[i].l<l)Add(--l);
		while(q[i].r>r)Add(++r);
		while(q[i].l>l)Sub(l++);
		while(q[i].r<r)Sub(r--);
		ans[q[i].k]=res;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		printf("%lld\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}

P1494 [国家集训队] 小 Z 的袜子

luogu传送门：题目链接

  • 代码：

    #include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
int read(){
	int s=0,f=1;
	char _z=getchar();
	while(_z<'0'||_z>'9'){
		if(_z=='-')
		f=-1;
		_z=getchar();
	}
	while(_z>='0'&&_z<='9'){
		s=(s<<3)+(s<<1)+(_z-'0');
		_z=getchar();
	}
	return s*f;
}
const int N=5e4+10;
typedef long long ll;
int a[N],pos[N],tot[N];
ll res=0,ans[N],fm[N];
struct Q{
	int l,r,k;
	bool operator<(Q x){
		if(pos[l]==pos[x.l])
		return r<x.r;
		return pos[l]<pos[x.l];
	}
}q[N];
void Add(int x){
	x=a[x];
	res-=tot[x]*(tot[x]-1)/2;
	tot[x]++;
	res+=tot[x]*(tot[x]-1)/2;
	return;
}
void Sub(int x){
	x=a[x];
	res-=tot[x]*(tot[x]-1)/2;
	tot[x]--;
	res+=tot[x]*(tot[x]-1)/2;
	return;
}
ll gcd(ll x,ll y){
	int r=x%y;
	while(r){
		x=y;
		y=r;
		r=x%y;
	}
	return y;
}
int main(){
	int n=read(),m=read();
	int siz=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		pos[i]=i/siz;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		q[i].l=read(),q[i].r=read();
		q[i].k=i;
	}
	sort(q+1,q+m+1);
	int l=1,r=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		while(q[i].l<l)Add(--l);
		while(q[i].r>r)Add(++r);
		while(q[i].l>l)Sub(l++);
		while(q[i].r<r)Sub(r--);
		ans[q[i].k]=res;
		fm[q[i].k]=1ll*(r-l+1)*(r-l)/2;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(ans[i]==0||fm[i]==0){
			printf("0/1\n");
			continue;
		}
		ll Gcd=gcd(ans[i],fm[i]);
		printf("%lld/%lld\n",ans[i]/Gcd,fm[i]/Gcd);
	}
	return 0;
}
/*
$(\sum{(cnt[i]\times(cnt[i]-1)\div2)})\div((r-l+1)\times(r-l)\div2)$
*/
posted @ 2024-04-19 20:23  liuqichen121  阅读(26)  评论(0)    收藏  举报