线性代数

线性代数

矩阵四则运算

矩阵

• 矩阵：就是高维数组
• 向量：一维数组，通常用列向量表示，即这个数组的形状是 \(n\times1\)​ 的
• 矩阵的四则运算包括加法、减法、乘法和数乘，它们遵循特定的规则

矩阵加法

• 需要两个相同（指维度相同，即行数和列数）的矩阵

• 矩阵加法是对应元素相加

  设 \(A\) 为 \(P\times M\) 的矩阵， \(B\) 为 \(P\times M\) 的矩阵，设矩阵 \(C\) 中的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素可以表示为：

  ​ \(C_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}\)

  例如： \(A=[[1,2],[3,4]]\) ， \(B=[[5,6],[7,8]]\)

  则 \(A+B=[[1+5,5+6],[1+7,4+8]]=[[6,8],[10,12]]\)

矩阵减法

• 与加法类似，矩阵减法也要求两个矩阵具有相同的维度，然后进行对应元素相减

矩阵乘法

矩阵乘法的基本规则

• 矩阵乘法并不像加减法那样简单对应元素相乘，而是有更严格的规则

• 设矩阵 \(A(P\times M)\) 和矩阵 \(B(M\times Q)\) ，要计算 \(A*B\) ，其结果矩阵 \(C(P\times Q)\) 中的每个元素 \(C_{i,j}\) 是由矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行和矩阵 \(B\) 的第 \(j\) 列对应元素按顺序相乘再求和得到的

  设 \(A\) 为 \(P\times M\) 的矩阵， \(B\) 为 \(M\times Q\) 的矩阵，设矩阵 \(C\) 中的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素可以表示为：

  ​ \(C_{i,j}=\sum^{M}_{k=1}A_{i,k}B_{k,j}\)

  例如： \(A=[[1,2],[3,4]]\) ， \(B=[[5,6],[7,8]]\)

  则 \(A*B=[[15+27,16+28],[35+47,36+48]]=[[19,22],[43,56]]\)

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using namespace std;
const int N=1e3+10;
int read(){
	int s=0,f=1;
	char _z=getchar();
	while(_z<'0'||_z>'9'){
		if(_z=='-')
		break;
		_z=getchar();
	}
	if(_z=='-'){
		f=-1;
		_z=getchar();
	}
	while(_z>='0'&&_z<='9'){
		s=(s<<3)+(s<<1)+(_z-'0');
		_z=getchar();
	}
	return s*f;
}
void print(int x){
	if(x<0){
		print(-x);
		return;
	}
	if(x>9)
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	return;
}
int a[N][N],b[N][N],c[N][N];
int main(){
	int p=read(),m=read(),q=read();
	for(int i=1;i<=p;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)
	a[i][j]=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	for(int j=1;j<=q;j++)
	b[i][j]=read();
	for(int i=1;i<=p;i++)
	for(int j=1;j<=q;j++)
	for(int k=1;k<=m;k++)
	c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
	for(int i=1;i<=p;i++){
		for(int j=1;j<=q;j++)
		print(c[i][j]),putchar(' ');
		puts("");
	}
	return 0;
}

矩阵乘法的性质

• 结合律： \(A*B*C=A*(B*C)\)

• 不满足交换律： \(A*B\ne B*A（通常情况下）\)

  例如： \(A\) 的形状为 \(n\times1\) ， \(B\) 的形状为 \(1\times n\) 时， \(A*B\) 的形状为 \(n\times n\) ，而 \(B*A\) 的形状为 \(1\times1\)

• 单位矩阵 \(E=diag(1)\)

数乘（标量乘法）

• 一个标量（实数） \(k\) 与矩阵 \(A\) 相乘，就是将矩阵 \(A\) 的所有元素都乘以这个标量

  设 \(A\) 为 \(P\times M\) 的矩阵， \(k\) 为标量，设矩阵 \(C\) 中的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素可以表示为：

  ​ \(C_{i,j}=A_{i,j}\times k\)

  例如： \(A=[[1,2],[3,4]]\) ， \(k=5\)

  则 \(A*k=[[1\times5,2\times5],[3\times5,4\times5]]=[[5,10],[15,20]]\)

以上就是在数学中矩阵的基本四则运算规则。