空间向量、建系

平行垂直证明

• 另一个速算法向量方法：

适用范围：容易找到某平面与 \(x,y,z\) 轴的交点（或确定没有交点）。

设平面 \(\alpha\) 与 \(x,y,z\) 轴的交点分别为 \((a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)\)，则该平面的一个法向量为：

\[\left( \frac 1 a , \frac 1 b , \frac 1 c \right) \]

如果平面和 \(x\) 轴平行，则可以认为 \(a \to + \infty\)，那么 \(\frac 1 a = 0\)。\(y,z\) 轴同理。

（拓展）叉积、混合积

叉积：\(\vec a \times \vec b = (y_1z_2-y_2z_1 , x_1z_2-x_2z_1 , z_1y_2-x_2y_1)\)，或者直接用上面那个图算出来的法向量就是叉积结果，同时叉积的模等于 \(\vec a , \vec b\) 围成的平行四边形面积。

混合积：\([\vec a \vec b \vec c] = (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c\)，模长表示 \(\vec a , \vec b , \vec c\) 同始点围成的平行六面体的体积，那么四面体的体积就是平行六面体体积的 \(1/6\)。一些性质如下图。

然后混合积中，若 \(\vec a , \vec b , \vec c\) 符合右手定则那么结果为正，否则为负（右手定则就和建系差不多，把 \(\vec a , \vec b , \vec c\) 分别当作 \(x,y,z\) 轴，大拇指指向 \(\vec c\)）。

下面是个不一定有用的方法，因为求混合积直接先叉乘再点乘也并不难算。

混合积常用计算方法（行列式）：设 \(\vec a = (x_1,y_1,z_1) , \vec b = (x_2,y_2,z_2) , \vec c = (x_3,y_3,z_3)\)，那么计算如上图 ③ 中行列式，可以用 Sarrus 法则（对角线法）：

先把行列式写出来：

\[\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} \]

上面这个行列式，转置一下也可以，两者等价（转置就是按照左上到右下的对角线翻转）。

然后把前两列复制一遍插入后面：

\[\begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1 & x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 & x_3 & y_3 \end{matrix} \]

然后正对角线之和减去反对角线之和即为混合积结果。

正对角线（↘）：\(x_1y_2z_3 + y_1z_2x_3 + z_1x_2y_3\)。

反对角线（↙）：\(z_1y_2x_3 + x_1z_2y_3 + y_1x_2z_3\)。

混合积：

\[(x_1y_2z_3 + y_1z_2x_3 + z_1x_2y_3) - (z_1y_2x_3 + x_1z_2y_3 + y_1x_2z_3) \]

GPT 对话

求角度

如果面面角是钝角还是锐角无法确定，可以直接叉积求法向量，严格按照右手定则，求出来上面图的第一种情况的那两个法向量，则 \(\theta + \alpha = \pi\)，\(\cos \alpha = -\cos \theta\)，这样就不用考虑钝角还是锐角了。

右手定则是这样的，\(\vec a \times \vec b = \vec n\)，则 \(\vec n , \vec a , \vec b\) 可以对应建系时 \(z,x,y\) 满足的右手定则。

例如下图，求平面 \(BDE\) 和平面 \(BDF\) 的夹角 \(\cos\) 值。要求平面 \(BDE\) 的一个指向右边的法向量，那就用 \(\overrightarrow{DE} \times \overrightarrow{DB}\) 作法向量。

距离

注：求点到直线距离的另一种方法，用叉积。设 \(\vec u\) 为直线 \(AB\) 的一个单位向量，则 \(P\) 到 \(AB\) 的距离为：

\[\frac {|\overrightarrow{AP} \times \vec u|} {|\vec u|} \]

注：下图求点到平面距离的公式，也可以用于上图求点到直线的距离，只要知道直线的一个法向量（与直线垂直的向量）即可。

一个总结：

注：线线距离不属于课本内容，但是可能在新定义中考，思路是设未知量，转化成函数问题求解。可以设一条直线上的动点然后向另一条直线作垂线，垂线的最小值就是线线距离；也可以设两个动点，不过比较麻烦。

tricks

• 一个 trick：建系时通常找一个和底面垂直的线做 \(z\) 轴，然后 \(x,y\) 轴在底面上找一对垂直。

• 这个是一个很厉害的题：

第一问：点面求距离，但是什么条件都没给，只给了个体积和面积，怎么办？用等体积法！因为三棱柱体积已知，所以可以知道三棱锥体积为三棱柱体积的 \(\frac 1 3\)，然后又有底面面积，所以距离就直接求出来了。

第二问：

1. \(AA_1 = AB\) 什么意思？正方形。
2. 看到面面垂直，找垂直于交线的线，两个面上都找一找，发现面 \(A_1BC\) 上似乎不好证 \(BC \perp A_1B\)，去看面 \(ABB_1A_1\)，利用垂直小妙招，正方形（等腰三角形 \(AA_1B\)）连对角线，直接就得到 \(AG \perp A_1B\) 了！
3. 然后是常规推垂直思路，\(AG \perp BC , BB_1 \perp BC \implies BC \perp AB\)，建系启动！
4. 但是建系首先需要知道一些坐标啊，通常就是三个轴上的线段长度，即 \(BA,BB_1,BC\)，怎么办呢？
5. 还是说，第一问证了不能是白证的，可以发现第一问求的距离就是 \(AG\)，于是什么就都能求了。

答案：第一问 \(\sqrt 2\)，第二问 \(\frac {\sqrt 3} 2\)。

• 这是一个 trick：如果一个向量不好求，不一定非得求出起点终点，也可以把它拆成多个好求的向量相加的形式！

也就是说，要求向量，可以考虑直接求和求起点终点两种方式。

• 还有，一个比较常用的就是棱柱上底面和下底面全等，故两个面上对应的向量也相等（如下图 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}\)）。然后棱柱的棱所代表的向量也都是相等的。

• 需要注意的一点是，几何法不一定麻烦。所以可以先看看几何法是否简单，如果很显然的话直接几何法就可以，不是很显然的话否则建系。或者说只有几何法一眼瞪不出来的时候才去考虑建系，毕竟建系终究是计算比较多的。

然后，如果很不好建系的话，那么也可以考虑考虑几何法。

• 翻折问题：突破口是翻着前后对应长度、角度、关系不变。

例如下面这个题第二问，注意到 \(MC = MA'\) 就秒了。甚至不用建系。

然后翻折的另一个技巧，就是找移动轨迹。但是一数没细说。

杂项

中点 / k 等分点

• 中点坐标公式：\(A(x_1,y_1,z_1) , B(x_2,y_2,z_2)\) 中点 \(P\) 为 \(P(\frac {x_1+x_2} 2 ,\frac {y_1+y_2} 2 ,\frac {z_1+z_2} 2)\)

• \(k\) 等分点：\(A(x_1,y_1,z_1) , B(x_2,y_2,z_2)\)，若 \(\frac {AP} {BP} = \frac a b\)，则 \(P = \frac b {a+b} A + \frac a {a+b} B\)（这里面的点都是把坐标带进去，我懒得写了）。

\(k\) 等分点的证明就是分点恒等式：\(\overrightarrow{OP} = \frac b {a+b} \overrightarrow{OA} + \frac a {a+b} \overrightarrow{OB}\)，其中 \(O\) 为任意点。

由上面这个，也可以得到线段上动点的坐标：若 \(P\) 在线段 \(AB\) 上动，则 \(P = \lambda A + (1- \lambda) B\)，或者说 \(P((x_1-x_2) \lambda + x_2 , (y_1-y_2) \lambda + y_2 , (z_1-z_2) \lambda + z_2)\)。
注：\(\lambda = \frac {BP} {AB}\)。\(\lambda\) 求的是 \(P\) 从 \(B\) 出发往 \(A\) 走了多远（比例）；当 \(\lambda=0\) 时，\(P=B\)。

这个分点恒等式是可以在大题中直接用的（注明“由分点恒等式得”）。

极化恒等式

\[\vec a \cdot \vec b = \frac 1 4 (|\vec a + \vec b|^2 - |\vec a - \vec b|^2) \\ \]

三角形中（两边数量积等于中线方减底半方）（\(D\) 为 \(BC\) 中点）：

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AD^2 - (\frac 1 2 BC)^2 \]

• 三角形在一个面上的投影面积满足：\(S_{投影} = S_{原} \cos \theta\)，其中 \(\theta\) 为三角形所在面与投影所在面的夹角（\(\theta \in [0,\frac \pi 2\)]）。大题可以直接用。

三维 / 四维分点恒等式

二维的和平面向量的一样。

• 三维

结论：设平面 \(ABC\)（\(A,B,C\) 不共线），平面内（不一定需要在 \(\triangle ABC\) 内）一点 \(P\)，以及平面外一点 \(O\)，那么：

\[\overrightarrow{OP} = \frac {[PBC]} {[ABC]} \overrightarrow{OA} + \frac {[APC]} {[ABC]} \overrightarrow{OB} + \frac {[ABP]} {[ABC]} \overrightarrow{OC} \]

其中 \([ABC]\) 表示 \(S_{\triangle ABC}\)。

下面是详细信息：

\[\overrightarrow{OP} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB} + z \overrightarrow{OC} \]

满足：

\[x+y+z=1 \]

对应二维中分线段的比例关系，三维中也有：

\[x = \frac {[PBC]} {[ABC]} , y = \frac {[APC]} {[ABC]} , z = \frac {[ABP]} {[ABC]} \]

这很符合人类直觉。

其中的面积是有向面积，也就是说如果 \(\triangle PBC\) 有一部分在 \(\triangle ABC\) 内部，那么面积为正，否则面积为负。

具体地，用向量叉积：

\[[ABC] = \frac 1 2 ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} ) \]

当然，这里的 \(\frac 1 2\) 可以不要了，因为都是求的比值一约就没了。

然后如果 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 内部，面积全为正。

注意：我上面写的 \([APC]\) 等，其中字母不能交换顺序，因为这关系到叉积的式子。记忆方法：可以看出三个面积就是把 \([ABC]\) 中的一个字母换成了 \(P\) 而已。

• 四维

结论：对于不共面的四点 \(A,B,C,D\)，以及空间中任意一点 \(P\)，对于任意一个 \(O\) 满足：

\[\overrightarrow{OP} = \frac {[PBCD]} {[ABCD]} \overrightarrow{OA} + \frac {[APCD]} {[ABCD]} \overrightarrow{OB} + \frac {[ABPD]} {[ABCD]} \overrightarrow{OC} + \frac {[ABCP]} {[ABCD]} \overrightarrow{OD} \]

详细信息：

\[\overrightarrow{OP} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB} + z \overrightarrow{OC} + w \overrightarrow{OD} \]

满足：

\[x+y+z+w=1 \]

同样地：

\[x = \frac {[PBCD]} {[ABCD]} , y = \frac {[APCD]} {[ABCD]} , z = \frac {[ABPD]} {[ABCD]} , w = \frac {[ABCP]} {[ABCD]} \]

同理，这里也是有向体积。判断方法也是向量混合积：

\[[ABCD] = \frac 1 6 \left( (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} \right) \]

同理 \(\frac 1 6\) 可以扔掉。

同理如果 \(P\) 在四面体 \(ABCD\) 内部，体积一定为正。

需要注意的同三维。

GPT 对话