二项式反演
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值得注意的是，我们为了做反演而定义的「至少」与平常所说的「至少」的意义是不一样的，实际上应该是「钦定」，这里我们允许不同的方案（式子中那个组合数）有交集。
一维
令 \(f_n\) 为恰好 \(n\) 个的答案，\(g_n\) 为至少 \(n\) 个的答案，则有：
\[\begin{aligned}
g_n & = \sum _{i=n} ^N \binom i n f_i \\
f_n & = \sum _{i=n} ^N (-1)^{i-n} \binom i n g_i
\end{aligned}
\]
令 \(f_n\) 为恰好 \(n\) 个的答案，\(g_n\) 为至多 \(n\) 个的答案，则有：
\[\begin{aligned}
g_n & = \sum _{i=0} ^n \binom n i f_i \\
f_n & = \sum _{i=0} ^n (-1)^{n-i} \binom n i g_i
\end{aligned}
\]
二维
令 \(f_{n,m}\) 为恰好 \(n,m\) 个的答案，\(g_{n,m}\) 为至少 \(n,m\) 个的答案，则有：
\[\begin{aligned}
g_{n,m} & = \sum _{i=n} ^N \sum _{j=m} ^M \binom i n \binom j m f_{i,j} \\
f_{n,m} & = \sum _{i=n} ^N \sum _{j=m} ^M (-1)^{(i-n) + (j-m)} \binom i n \binom j m g_{i,j}
\end{aligned}
\]
令 \(f_{n,m}\) 为恰好 \(n,m\) 个的答案，\(g_{n,m}\) 为至多 \(n,m\) 个的答案，则有：
\[\begin{aligned}
g_{n,m} & = \sum _{i=0} ^n \sum _{j=0} ^m \binom n i \binom m j f_{i,j} \\
f_{n,m} & = \sum _{i=0} ^n \sum _{j=0} ^m (-1)^{(n-i) + (m-j)} \binom n i \binom m j g_{i,j}
\end{aligned}
\]
三维
令 \(f_{n,m,c}\) 为恰好 \(n,m,c\) 个的答案，\(g_{n,m,c}\) 为至少 \(n,m,c\) 个的答案，则有：
\[\begin{aligned}
g_{n,m,c} & = \sum _{i=n} ^N \sum _{j=m} ^M \sum _{k=c} ^C \binom i n \binom j m \binom k c f_{i,j,k} \\
f_{n,m,c} & = \sum _{i=n} ^N \sum _{j=m} ^M \sum _{k=c} ^C (-1)^{(i-n) + (j-m) + (k-c)} \binom i n \binom j m \binom k c g_{i,j,k}
\end{aligned}
\]
令 \(f_{n,m,c}\) 为恰好 \(n,m,c\) 个的答案，\(g_{n,m,c}\) 为至多 \(n,m,c\) 个的答案，则有：
\[\begin{aligned}
g_{n,m,c} & = \sum _{i=0} ^n \sum _{j=0} ^m \sum _{k=0} ^c \binom n i \binom m j \binom c k f_{i,j,k} \\
f_{n,m,c} & = \sum _{i=0} ^n \sum _{j=0} ^m \sum _{k=0} ^c (-1)^{(n-i) + (m-j) + (c-k)} \binom n i \binom m j \binom c k g_{i,j,k}
\end{aligned}
\]
能看出规律来了，后面依次类推，不过基本上也用不到那么高维的。
莫比乌斯反演
定义莫比乌斯函数 \(\mu (n)\) 为：
\[\mu (n) = \begin{cases}
1 & n = 1 \\
0 & n~含有平方因子 \\
(-1)^k & k~为~n~的质因子个数
\end{cases}
\]
注：有平方因子就是 \(n\) 的某一个质因子出现了 \(>1\) 次。
那么有结论，令 \(f(n),g(n)\) 均为数论函数，那么：
\[\begin{aligned}
g(n) & = \sum _{d \mid n} f(d) \\
f(n) & = \sum _{d \mid n} \mu(d) g(\frac n d)
\end{aligned}
\]
或者：
\[\begin{aligned}
g(n) & = \sum _{n \mid d} f(d) \\
f(n) & = \sum _{n \mid d} \mu(\frac d n) g(d)
\end{aligned}
\]
min-max 反演
或者叫极值反演、min-max 容斥。
普通
\[\begin{aligned}
\max \{S\} & = \sum _{T\subseteq S} (-1)^{|T|+1} \min \{T\} \\
\min \{S\} & = \sum _{T\subseteq S} (-1)^{|T|+1} \max \{T\}
\end{aligned}
\]
期望
由期望的线性性推出来的。
\[\begin{aligned}
E(\max \{S\}) & = \sum _{T\subseteq S} (-1)^{|T|+1} E(\min \{T\}) \\
E(\min \{S\}) & = \sum _{T\subseteq S} (-1)^{|T|+1} E(\max \{T\})
\end{aligned}
\]
kth
link
\[\begin{aligned}
kth \max \{S\} = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T| - k} \binom {|T|-1} {k-1} \min \{T\} \\
kth \min\{S\} = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T| - k} \binom {|T|-1} {k-1} \max \{T\}
\end{aligned}
\]
故只需要大小 \(\ge k\) 的子集。
kth 期望
\[\begin{aligned}
E(kth \max \{S\}) = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T| - k} \binom {|T|-1} {k-1} E(\min \{T\}) \\
E(kth \min\{S\}) = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T| - k} \binom {|T|-1} {k-1} E(\max \{T\})
\end{aligned}
\]
子集反演
和二项式反演有点类似。
令 \(f_S\) 为恰好是集合 \(S\) 的答案，\(g_S\) 为限制为 \(S\) 的子集的答案，则有：
\[\begin{aligned}
g_S & = \sum _{T \subseteq S} f_T \\
f_S & = \sum _{T \subseteq S} (-1)^{|S|-|T|} g_T
\end{aligned}
\]
令 \(f_S\) 为恰好是集合 \(S\) 的答案，\(g_S\) 为限制为 \(S\) 的超集的答案，则有：
\[\begin{aligned}
g_S & = \sum _{S \subseteq T} f_T \\
f_S & = \sum _{S \subseteq T} (-1)^{|T|-|S|} g_T
\end{aligned}
\]
天依宝宝可爱！
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