高维二项式反演

组合意义天地灭，代数推导保平安。

直接放结论。

注意同一组的两个式子等价的，即使没有实际意义的约束。

\(n,m,k\) 分别代表不同的独立的信息，在下面的定义中要求均恰好或均至少或均至多。

值得注意的是，我们为了做反演而定义的「至少」与平常所说的「至少」的意义是不一样的，实际上应该是「钦定」，这里我们允许不同的方案（式子中那个组合数）有交集。

一维

令 \(f_n\) 为恰好 \(n\) 个的方案数，\(g_n\) 为至少 \(n\) 个的方案数，则有：

\[\begin{aligned} g_n & = \sum _{i=n} ^N \binom i n f_i \\ f_n & = \sum _{i=n} ^N (-1)^{i-n} \binom i n g_i \end{aligned} \]

令 \(f_n\) 为恰好 \(n\) 个的方案数，\(g_n\) 为至多 \(n\) 个的方案数，则有：

\[\begin{aligned} g_n & = \sum _{i=0} ^n \binom n i f_i \\ f_n & = \sum _{i=0} ^n (-1)^{n-i} \binom n i g_i \end{aligned} \]

二维

令 \(f_{n,m}\) 为恰好 \(n,m\) 个的方案数，\(g_{n,m}\) 为至少 \(n,m\) 个的方案数，则有：

\[\begin{aligned} g_{n,m} & = \sum _{i=n} ^N \sum _{j=m} ^M \binom i n \binom j m f_{i,j} \\ f_{n,m} & = \sum _{i=n} ^N \sum _{j=m} ^M (-1)^{(i-n) + (j-m)} \binom i n \binom j m g_{i,j} \end{aligned} \]

令 \(f_{n,m}\) 为恰好 \(n,m\) 个的方案数，\(g_{n,m}\) 为至多 \(n,m\) 个的方案数，则有：

\[\begin{aligned} g_{n,m} & = \sum _{i=0} ^n \sum _{j=0} ^m \binom n i \binom m j f_{i,j} \\ f_{n,m} & = \sum _{i=0} ^n \sum _{j=0} ^m (-1)^{(n-i) + (m-j)} \binom n i \binom m j g_{i,j} \end{aligned} \]

三维

令 \(f_{n,m,c}\) 为恰好 \(n,m,c\) 个的方案数，\(g_{n,m,c}\) 为至少 \(n,m,c\) 个的方案数，则有：

\[\begin{aligned} g_{n,m,c} & = \sum _{i=n} ^N \sum _{j=m} ^M \sum _{k=c} ^C \binom i n \binom j m \binom k c f_{i,j,k} \\ f_{n,m,c} & = \sum _{i=n} ^N \sum _{j=m} ^M \sum _{k=c} ^C (-1)^{(i-n) + (j-m) + (k-c)} \binom i n \binom j m \binom k c g_{i,j,k} \end{aligned} \]

令 \(f_{n,m,c}\) 为恰好 \(n,m,c\) 个的方案数，\(g_{n,m,c}\) 为至多 \(n,m,c\) 个的方案数，则有：

\[\begin{aligned} g_{n,m,c} & = \sum _{i=0} ^n \sum _{j=0} ^m \sum _{k=0} ^c \binom n i \binom m j \binom c k f_{i,j,k} \\ f_{n,m,c} & = \sum _{i=0} ^n \sum _{j=0} ^m \sum _{k=0} ^c (-1)^{(n-i) + (m-j) + (c-k)} \binom n i \binom m j \binom c k g_{i,j,k} \end{aligned} \]

能看出规律来了，后面依次类推，不过基本上也用不到那么高维的。