谢启鸿高代II（19级）每周一题（部分）解答及想法

复习期间解了部分题目，未来可能更新完整。
引用链接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/12389147.html

[S01] 设数域\(\mathbb{K}\)上的二元多项式\(f(x,y)\)关于\(x\)的次数小于等于\(n\)，关于\(y\)的次数小于等于\(m\). 设\(m\mathbb{K}\)中存在两组互不相同的数\(a_0,a_1,...,a_n\)和\(b_0,b_1,...,b_m\)，使得

\[f(a_i,b_j)=0,0 \le i \le n, 0 \le j \le m. \]

证明：\(f(x,y)\)是零多项式.
证：
若一元多项式\(f(x,b_j),0 \le j \le n\)不是零多项式，则它最多有\(n\)个复根，因此最多有\(n\)个互不相同的\(\mathbb{K}\)上的根，与题目条件矛盾，因此\(f(x,b_j) = 0,0 \le j \le n\)
固定\(x = x_0\)，同样可知一元多项式\(f(x_0,y)\)有\(m+1\)个不同的\(\mathbb{K}\)上的根，因此只能是\(f(x_0,y)=0\).
又因为\(x_0\)可以任取\(\mathbb{K}\)上的数，所以\(f(x,y)=0\). \(\square\)

[S02] 请用特征值法证明：
（1）设\(f(x), g(x)\)是数域\(\mathbb{K}\)上的互素多项式，\(A\)是\(\mathbb{K}\)上的\(n\)阶方阵，满足\(f(A)=0\)，证明：\(g(A)\)是非异阵.
（2）设\(A\)为\(n\)阶实对称阵，\(S\)为\(n\)阶实反对称阵，证明：\(I_n \pm S\)和\(I_n \pm iA\)都是非异阵.
证：
（1）由于\(f(A)=0\)，可知\(A\)的极小多项式整除\(f(x)\)，因此\(A\)的特征值是\(f(x)\)的根. 又知道\(f(x), g(x)\)互素，因此\(g(x)\)的根都不是\(A\)的特征值，因此\(g(A)\)没有0作为特征值，故\(g(A)\)是非异阵.
（2）\(\forall \lambda\)为\(A\)的特征值，存在复列向量\(\alpha\)，st. \(A\alpha = \lambda \alpha\)，\(\overline{\alpha}^{\prime}A\alpha = \lambda \overline{\alpha}^{\prime}\alpha\)，\(\overline{\alpha}^{\prime}A\alpha\)的共轭转置（共轭）等于它本身，因此它是实数，同时\(\overline{\alpha}^{\prime}\alpha\)是实数，因此\(\lambda\)是实数，故\(A\)的特征值全是实数. 故\(I_n \pm iA\)的特征值不可能为0，因此为非异阵. 同理可证\(S\)的特征值全是\(0\)或纯虚数，\(I_n \pm S\)为非异阵.

[S05] 设\(n\)阶实方阵\(A,B\)满足：\(A,B\)的特征值都大于零，且\(A^4+2A^3B=2AB^3+B^4\)，证明：\(A=B\).
证：
引理1：设\(A\)为\(m\)阶矩阵，\(B\)为\(n\)阶矩阵，且\(A,B\)没有公共的特征值，则矩阵方程\(AX=XB\)只有零解\(X=0\).
证：设\(f(\lambda)\)为A的特征多项式，由\(CH\)定理可知\(f(A)=0\)，又因为\(A,B\)没有公共的特征值，所以\(f(B)\)没有\(0\)特征值，即它为可逆阵. 于是\(f(A)X=Xf(B)=0\)，从而得\(X=0\). \(\square\)
引理2：设\(n\)阶方阵\(A,B\)得特征值全部大于零且满足\(A^2=B^2\)，则\(A=B\).
证：可得\(A(A-B)=(A-B)(-B)\)，又\(A\)和\(-B\)没有公共的特征值，因此\(A-B=0\).\(\square\)
仿照引理1，可以尝试配凑\(A-B\)作为矩阵方程的解，但是似乎并不能凑出来，因此受引理2启发，可以尝试配凑\(A^2-B^2\).
\(A^4+2A^3B-2AB^3-B^4 = A^4 - A^2B^2 +A^2B^2 +2A^3B - 2AB^3 - B^4 = A^2(A^2 - B^2) + 2A(A^2-B^2)B + (A^2-B^2)B^2 = 0\)
设\(X = A^2 - B^2\)，则\(A^2 X+2AXB+XB^2 = A(AX+XB)-(AX+XB)(-B) = 0\)
反复利用引理1，可得\(AX - X(-B) = 0\)，得\(X = A^2 - B^2 = 0\)，最后得\(A = B\). \(\square\)