利用多种实数系基本定理证明Dini定理

Dini定理
设函数序列\(\{S_n(x)\}\)在闭区间\([a,b]\)上点态收敛于S(x),如果
(1) \(S_n(x)\)\((n=1,2,...)\)在\([a,b]\)上连续；
(2) \(S(x)\)在\([a,b]\)上连续；
(3) \(\{S_n(x)\}\)关于\(n\)单调，即对任意固定的\(x\in [a,b]\)，\({S_n(x)}\)是单调数列，
则\(\{S_n(x)\}\)在\([a,b]\)上一致收敛于\(S(x)\).

引理
若函数序列\(\{S_n(x)\}\)满足上述条件，则\(\forall \epsilon >0,\forall x_0\in [a,b],\exists \delta >0和N\in \mathbb{Z}^+,st.\forall x \in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap [a,b]和n \ge N，|S(x)-S_n(x)| < \epsilon\)

证明
\(\forall x_0\in [a,b],\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{Z}^+,st. \forall n \ge N,|S_n(x_0)-S(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}\)
由\(S(x)\)和\(S_n(x)\)的连续性可知，\(\exists \delta_1 , \delta_2 > 0,st.\)
\(\forall x\in (x_0-\delta_1 ,x_0+\delta_1 ) \cap [a,b],|S(x)-S(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}\)
\(\forall x\in (x_0-\delta_2 ,x_0+\delta_2 ) \cap [a,b],|S_N(x)-S_N(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}\)
取\(\delta = min\{\delta_1, \delta_2\}\)，可知\(\forall x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta ) \cap [a,b],\)
\(|S(x)-S_N(x)|\le |S(x)-S(x_0)|+|S(x_0)-S_N(x_0)|+|S_N(x_0)-S_N(x)|<\epsilon\)
再由\(S_n(x)\)单调且收敛于\(S(x)\)可知，\(\forall x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap [a,b]和n \ge N，有|S(x)-S_n(x)| < \epsilon\) \(\square\)

Dini定理的证明
利用确界存在定理
取\(\epsilon >0\)，定义\(A_{\epsilon}=\{y\ge a|\exists N \in \mathbb{Z}^+, st.\forall x \in [a,y],\forall n \ge N,|S_n(x)-S(x)|<\epsilon\}\)
若视\(a\)为引理中所取的\(x_0\)，由引理可知\(A_{\epsilon}\)不是空集。
若\(A_{\epsilon}\)无上界，则\(b \in A_{\epsilon}\)，故\(\exists N \in \mathbb{Z}^+, st.\forall x \in [a,b],\forall n \ge N,|S_n(x)-S(x)|<\epsilon\)
若\(A_{\epsilon}\)有上界，则它必有上确界\(s\)，假设\(s<b\)，由引理可知\(\exists \delta >0和N_s \in \mathbb{Z}^+,st.\forall x \in (s-\delta ,s+\delta )\cap [a,b]和n \ge N_s，|S(x)-S_n(x)| < \epsilon\)
又\(\exists N^{\prime} \in \mathbb{Z}^+, st.\forall x \in [a,max\{s-\frac{\delta}{2},\frac{s+a}{2}\}],\forall n \ge N^{\prime},|S_n(x)-S(x)|<\epsilon\)
取\(N = max\{N^{\prime},N_s\}\)，可知\(\forall x \in [a,min\{s+\frac{\delta}{2},b\}],\forall n \ge N,|S_n(x)-S(x)|<\epsilon\)，与s为上确界矛盾，因此\(s\ge b\)
若\(s>b\)，则\(\exists N \in \mathbb{Z}^+, st.\forall x \in [a,b],\forall n \ge N,|S_n(x)-S(x)|<\epsilon\)
若\(s=b\)，由引理可知\(\exists \delta >0和N_b\in \mathbb{Z}^+,st.\forall x \in (b-\delta ,b]和n \ge N，|S(x)-S_n(x)| < \epsilon\)
又\(\exists N^{\prime \prime} \in \mathbb{Z}^+, st.\forall x \in [a,b-\frac{\delta}{2}],\forall n \ge N^{\prime \prime},|S_n(x)-S(x)|<\epsilon\)
取\(N = max\{N^{\prime \prime}, N_b\}\)，则\(\forall x \in [a,b],\forall n \ge N,|S_n(x)-S(x)|<\epsilon\)
开头所取的\(\epsilon\)是任意的，因此
\(\forall \epsilon >0, \exists N \in \mathbb{Z}^+, st.\forall x \in [a,b],\forall n \ge N,|S_n(x)-S(x)|<\epsilon\)，此即一致收敛的定义 \(\square\)

利用闭区间套定理
取\(\epsilon >0\)，定义性质\(P(\epsilon, I)\)为\(\exists N \in \mathbb{Z}^+, st.\forall n \ge N,|S_n(x)-S(x)|<\epsilon(x \in I)\)
容易验证，若有限个区间\(I_1,I_2,...I_m\)分别满足性质\(P(\epsilon,I_1),P(\epsilon,I_2),...P(\epsilon,I_m)\)
则\(I\) = \(\bigcup I_i\)也满足性质\(P(\epsilon, I)\)
固定上述的\(\epsilon\)，以下简称性质\(P\)
若\([a,b]\)不满足性质P，则取\([a,b]\)中点划分成两个小闭区间，其中必有一个不满足性质P，命名为\([a_1,b_1]\),对\([a_1,b_1]\)重复以上操作，得闭区间\([a_2,b_2]\),一直不断做下去，得闭区间套\(\{[a_n, b_n]\}\)
存在唯一的一个点\(\xi \in [a, b]\)，st.其为闭区间套中闭区间的公共点
由引理可知，存在\(\delta >0,st. (\xi - \delta, \xi + \delta) \cap [a,b]满足性质P\)
又因为\(\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0\)，因此只要n足够大，便有\([a_n, b_n]\)落在\((\xi - \delta, \xi + \delta) \cap [a,b]\)里面，这与假设矛盾
因此，\(\exists N \in \mathbb{Z}^+, st.\forall n \ge N,|S_n(x)-S(x)|<\epsilon (x \in [a,b])\)，又因为\(\epsilon\)是任取的，一致收敛性得证。\(\square\)

利用有限覆盖定理
取\(\epsilon >0\)，性质P的定义同上
由引理知，可定义\(\mathcal{U} = \{(x - \delta, x + \delta)|x \in (a, b), \delta > 0,(x - \delta, x + \delta)满足性质P且(x - \delta, x + \delta)\subset [a,b]\}\)
可知\(\mathcal{U}\)是\([a,b]\)的任意一个闭子区间的开覆盖，因此对\([a,b]\)的任意一个闭子区间都存在\(\mathcal{U}\)中的有限个开区间覆盖，而这些开区间都满足性质P，因此\([a,b]\)的任意一个闭子区间满足性质P
又知a，b各有一个在\([a,b]\)内的邻域满足性质P，它们与一个和它们都有交集的\([a,b]\)的闭子区间都满足性质P，因此\([a,b]\)满足性质P，同前面的讨论可知，\(\{S_n(x)\}\)具有一致收敛性. \(\square\)

评注
(1)纵览这几种证法，本质上都是利用实数系的基本定理，来将引理中关于\([a,b]\)中所有的点\(x_0\)的性质推广成了整个区间\([a,b]\)的性质。
(2)这里之所以说是“点”的性质，是因为邻域半径\(\delta\)是会受\(\epsilon\)大小的影响而改变的，因此本质上并不是邻域\((x_0-\delta, x_0+\delta)\)所满足的性质。（真正意义上从邻域的性质推出整个区间的性质应该是指\(S_n(x)\)在\((x_0-\delta, x_0+\delta)\)就已经满足一致收敛性，欲推出\(S_n(x)\)在\([a,b]\)上的一致收敛性，这个条件比引理中呈现出来的性质要强）
(3)若固定\(\epsilon\)的取值，则也可以看成是从邻域的性质推出整个区间的性质，这是利用实数系基本定理的关键点。