特征多项式无重因式的方阵A∈Mn(K)在循环空间K^n上的循环向量——复旦谢启鸿高代习题课"高代II第13讲"例7.19评注(3)的一个证明

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Def.
设V是数域\(K\)上的n维线性空间，\(\varphi\) 是\(V\)上的线性变换. 设\(0\ne\alpha\in V\)，则\(U=L(\alpha,\varphi (\alpha),\varphi ^2 (\alpha),...)\)称为\(V\)的循环子空间，记为\(U=C(\varphi ,\alpha )\), \(\alpha\)称为\(U\)的循环向量. 若\(U=V\), 则称\(V\)为循环空间.

Thm.
设\(U\)是\(V\)的\(\varphi\)-不变子空间，则\(U\)为循环子空间的充要条件是\(\varphi |_U\)在\(U\)的某组基下的表示阵为某个首一多项式的友阵（或者是有理块）.
pf. (略)(高代II第13讲例1)\(\Box\)

Thm.
设\(n\)阶复方阵\(A\)有\(n\)个互不相同的特征值，则\(A\)的特征多项式和极小多项式相等(\(A\)的有理标准型是一个有理块)。设\(A\)的\(n\)个线性无关的特征向量为\(\alpha _1,...,\alpha_n\), 则\(\alpha = \alpha_1 + ... + \alpha_n\)是\(A\)的循环空间\(C^n\)的循环向量.
pf. (略)(高代II第13讲例7.18及其评注)\(\Box\)

Thm.
设\(A\in M_n(K)\)的特征多项式\(f(\lambda )= P_1(\lambda)P_2(\lambda)...P_k(\lambda)\),其中\(P_i(\lambda)(1\le i \le k)\)是\(K\)上互异的首一不可约多项式. 则\(A\)的有理标准型只有一个有理块(因此\(K^n\)是\(A\)的循环空间). 设\(\alpha _i \in K^n\)为线性方程组\(P_i(A)x=0\)的非零解，则\(\alpha = \alpha _1 + ... + \alpha _k\)是\(A\)的循环空间\(K^n\)的循环向量.
pf.
\(f(\lambda)\)无重因式，因此\((f(\lambda),f^{\prime}(\lambda))=1\), 故\(f(\lambda)\)有\(n\)个互不相同的复根，\(A\)有\(n\)个不同的特征值，因此\(A\)的极小多项式等于特征多项式，故\(A\)的有理标准型只有一个有理块.
因此，(若把\(A\)视为线性变换)\(A\)在\(K^n\)中的一个表示矩阵为其特征多项式的有理块，所以\(K^n\)是\(A\)的一个循环空间。
设\(f_i(\lambda)=\frac{f(\lambda)}{P_i(\lambda)}\), 显然有\((f_1(\lambda),...,f_k(\lambda)) = 1\), 因此存在\(u_1(\lambda),...,u_k(\lambda)\),st. \(f_1(\lambda)u_1(\lambda)+...+f_k(\lambda)u_k(\lambda) = 1\)
因此，\(f_1(A)u_1(A) + f_2(A)u_2(A)+...+f_k(A)u_k(A) = I_n\)
\(\forall \beta \in K^n(C^n)\), \(\beta = f_1(A)u_1(A)\beta + f_2(A)u_2(A)\beta+...+f_k(A)u_k(A)\beta\)
设\(V_i^K = Ker P_i(A)^K \subseteq K^n\),结合CH定理便知\(K^n = \Sigma V_i^K\)
设\(V_i^C = Ker P_i(A)^C \subseteq C^n\),同理知\(C^n = \Sigma V_i^C\)
根据直和的定义并结合上述表达式，很容易证明\(K^n = \oplus V_i^K, C^n = \oplus V_i^C\)
由于\(P_i(A|_{V_i^K})=P_i(A)|_{V_i^K}=0\), 设\(g_i(\lambda)\)是\(A|_{V_i^K}\)的特征多项式，则\(g_i(\lambda)\)的根是\(P_i(\lambda)\)的根,再结合\(f(\lambda )=P_1(\lambda)P_2(\lambda)...P_k(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)...g_k(\lambda)\)以及\(f(\lambda)\)无重根,可知\(g_i(\lambda) = P_i(\lambda)\)，同理可证\(A|V_i^C\)的特征多项式也是\(P_i(\lambda)\)
假设\(A|_{V_i^K}\)有平凡的不变子空间，则\(A|_{V_i^K}\)在\(V_i^K\)的某组基下的表示矩阵为\(\begin{pmatrix}B&C \\ 0&D\end{pmatrix}\)，
\(P_i(\lambda) = |\lambda I - A|_{V_i^K} | =|\lambda I -B||\lambda I - D|\)，与\(P_i(\lambda)\)在数域\(K\)上不可约矛盾, 因此\(A|_{V_i^K}\)没有平凡的不变子空间.
结论中选取的\(\alpha_i\)相当于选取\(0\ne \alpha_i \in V_i^K\), 由于\(V_i^K \subset V_i^C\), 因此\(\alpha_i \in V_i^C\)
设\(P_i(\lambda)=(\lambda - \lambda_{i_1})(\lambda - \lambda_{i_2})...(\lambda - \lambda_{i_{r_i}})\)，由无重根及对角化理论可知\(V_i^C = \oplus Ker(A-\lambda_{i_j}I), (j = 1,2,...,r_i)\)
设\(\alpha_i = \beta_{i_1}+...+\beta_{i_{r_i}}\)，其中，\(\beta_{i_j} \in Ker(A-\lambda_{i_j}I)\).并假设这\(r_i\)个向量中有\(0 \ne s_i < r_i\) 个向量非零
若\(r_i = 1\)，显然矛盾
若\(r_i > 1\)，则\(0< dimC(A|_{V_i^C},\alpha_i)^C = dimC(A|_{V_i^K},\alpha_i)^C = dimC(A|_{V_i^K},\alpha_i)^K < s_i < r_i = dimV_i^K\)，与\(A|_{V_i^K}\)没有平凡的不变子空间矛盾
因此，只能是\(\beta_{i_j}\)全非零，\(i = 1,...,k \ j=1,...,r_i\)，而全体\(\beta_{i_j}\)又构成\(A\)的\(n\)个线性无关的特征向量，结合前面的定理可知，\(C^n = C(A,\alpha)^C\)
而\(dim C(A,\alpha)^C = dim C(A,\alpha)^K = n\)，可知\(C(A,\alpha)^K = K^n\)，因此\(\alpha\)是\(K^n\)的循环向量.\(\Box\)