三角函数微积分相关知识
三角函数微积分：公式 · 定理 · 应用技巧全览
本文是一份自足的三角函数微积分手册：从恒等式出发，经极限、微分、积分、定积分定理，到十二类应用技巧、分档例题、易错点清单与速查表。
全文公式已用 sympy 逐条符号验算（110+ 条，验算脚本_verify_trig.py/_verify_trig2.py）；验算过程中抓出的真实错误全部保留在 第八部分 易错点清单 中作为反面教材。
阅读路径：恒等式 → 极限 → 微分 → 积分 → 定积分定理 → 技巧 → 例题 → 易错点 → 速查表 → 练习
目录
- 第一部分 预备：微积分里真正用得上的三角恒等式
- 第二部分 极限：三角函数的入场券
- 第三部分 微分公式
- 第四部分 积分公式
- 第五部分 定积分中的定理
- 第六部分 应用技巧十二讲（核心）
- 第七部分 分档例题
- 第八部分 易错点清单
- 附录 A 一页速查表
- 附录 B 练习题（含折叠解答）
- 附录 C 符号与约定
第一部分 预备：微积分里真正用得上的三角恒等式
三角恒等式有几百个，但微积分里反复出场的只有下面七组。判断"要不要背"的标准很简单：它能不能把被积函数变成更好积的形式，或者把极限变成更好算的形式。
1.1 基本关系
【点评】 后两个平方关系在积分里几乎只干一件事：把 \(\sec^2x\) 认出来是 \(\tan'x\)，把 \(\csc^2x\) 认出来是 \(-\cot'x\)。看到 \(\sec^2x\) 或 \(\csc^2x\) 而没想到凑微分，基本就卡住了。
1.2 和角、差角、倍角
倍角：
三倍角（偶有奇效）：
【点评】 \(\sin2x=2\sin x\cos x\) 是最被低估的一条。它是"看到 \(\sin x\cos x\) 就凑 \(d(\sin^2x)\)"的来源，也是 \(\sin x\cos x=\frac12\sin2x\) 这个"积化和差"特例的来源——两种方向都常用：前者用于凑微分，后者用于把乘积拆成可正交的单项。
1.3 降幂与升幂（偶次幂积分的唯一出路）
【点评】 这是偶数次幂三角函数积分的通用解法：降幂 → 线性组合 → 逐项积。\(\int\cos^4x\,dx\)、\(\int\sin^6x\,dx\) 这类题，不要去想什么奇技淫巧，降幂展开就是最快的路。奇数次的不用降幂，见技巧 1。
1.4 积化和差 / 和差化积
积化和差（把乘积变成和差，是积分和正交性的钥匙）：
和差化积：
【点评】 积化和差的价值在于：\(\sin mx\cos nx\)、\(\sin mx\sin nx\) 这类乘积在 \([-\pi,\pi]\) 上积分时，拆成和差后每一项都是纯粹的 \(\sin/\cos\) 单频，积分立刻可算。这就是傅里叶系数公式和正交性的全部技术内容。没有积化和差，就看不穿正交性。
1.5 辅助角公式（合一变形）
（等价写法 \(A\sin x+B\cos x=R\cos(x-\psi)\)，\(\tan\psi=\frac{A}{B}\)。\(R\) 就是振幅。）
【点评】 它的用途不是"化简好看"，而是把两个频率相同的三角项压成一个。压成一个之后：求最值变成看振幅 \(R\)；求周期变成看 \(\sin\) 的周期；求积分变成 \(\int R\sin(x+\varphi)dx=-R\cos(x+\varphi)+C\)；在求导中也只走一次链式法则。看到 \(a\sin x+b\cos x\) 出现在分母或根号里，先合一。
1.6 万能公式（\(t=\tan\frac x2\) 的代换公式）
令 \(t=\tan\dfrac x2\)，则
【点评】 这组公式被称为"万能"是因为它把任何关于 \(\sin x,\cos x\) 的有理式变成 \(t\) 的有理函数，而有理函数一定有初等原函数（部分分式分解）。但它有代价，见技巧 3 和易错点 2——在 \(x=\pi\) 处 \(t\) 无定义，所以对跨过 \(\pi\) 的区间要拆段。
1.7 反三角函数的恒等式
【点评】 最后一条要小心：等式只在 \(|xy|<1\) 时成立，否则要加 \(\pm\pi\)。这类"主值范围"问题在含反三角的定积分换元里是主要失分点。
第二部分 极限：三角函数的入场券
2.1 两个基本极限
第一个是用夹逼（或面积）证明的一切三角极限的源头；第二个直接把 \(\cos\) 的展开代入即可。由第一个出发：
2.2 等价无穷小（\(x\to0\)）
【点评】 前两组是一阶和二阶，第三组是三阶。三阶这三个（\(x-\sin x\)、\(\tan x-x\)、\(\tan x-\sin x\)）必须记住，因为它们是"洛必达要做三次"的题目的标准突破口。
另外注意 \(\tan x-\sin x\sim\frac{x^3}{2}\) 而不是 \(0\)——很多人在这一步把 \(\tan x\) 和 \(\sin x\) 各自替换成 \(x\)，得到 \(x-x=0\)，然后就卡死了。原因见易错点 4。
2.3 泰勒展开（三角函数的完整武器库）
两个"合成"的展开（做题时直接可用）：
【点评】 \(\ln(\sec x+\tan x)\) 的展开式看起来冷门，其实它是 \(\int\sec x\,dx\) 的原函数，出现频率不低。
\(\tan x\) 的系数 \(\frac13,\frac{2}{15},\frac{17}{315}\) 是伯努利数 \(\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}\)，记住前三项足够应付一切一元微积分题目。注意 \(\tan\) 只有奇次项（奇函数），\(\sec\) 只有偶次项（偶函数）——这个对称性可以帮助检查自己有没有抄错系数。
2.4 三角极限的实战示范
【点评】 最后一题是"泰勒展开深度"的试金石。\(\tan(\sin x)\) 与 \(\sin(\tan x)\) 的 \(x,x^3,x^5\) 项完全抵消，必须展开到 \(x^7\) 才有非零结果。用洛必达做这题需要求七次导，用泰勒只需把两个复合展开各写到 \(x^7\)。这就是"洛必达 vs 泰勒"的分水岭：能展开就展开。
第三部分 微分公式
3.1 六个基本三角函数的导数
| \(y\) | \(y'\) | 定义域 |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb R\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb R\) |
| \(\tan x\) | \(\sec^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}\) | \(x\ne\frac\pi2+k\pi\) |
| \(\cot x\) | \(-\csc^2x=-\dfrac{1}{\sin^2x}\) | \(x\ne k\pi\) |
| \(\sec x\) | \(\sec x\tan x\) | \(x\ne\frac\pi2+k\pi\) |
| \(\csc x\) | \(-\csc x\cot x\) | \(x\ne k\pi\) |
记忆法一（"共轭"配对）：每个函数的导数都是"自己 × 配对函数的导数因子"形式——\(\sec\) 配 \(\tan\)，\(\csc\) 配 \(\cot\)。而 \(\cos\) 系（\(\cos,\cot,\csc\)）全部带负号。
记忆法二（三行循环）：把六个函数按 \(\sin\to\cos\to-\sin\to-\cos\to\sin\) 排成循环，求导就是"沿循环走一格"。这是最不容易出错的记法：\(\sin'=\cos\)，\(\cos'=-\sin\)，后四者从商法则推出即可，不必硬背。
3.2 复合与链式法则
例：
3.3 六个反三角函数的导数
| \(y\) | \(y'\) | 定义域 |
|---|---|---|
| \(\arcsin x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\lvert x\rvert<1\) |
| \(\arccos x\) | \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\lvert x\rvert<1\) |
| \(\arctan x\) | \(\dfrac{1}{1+x^2}\) | \(\mathbb R\) |
| \(\operatorname{arccot}x\) | \(-\dfrac{1}{1+x^2}\) | \(\mathbb R\) |
| \(\operatorname{arcsec}x\) | \(\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}}\) | \(\lvert x\rvert>1\) |
| \(\operatorname{arccsc}x\) | \(-\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}}\) | \(\lvert x\rvert>1\) |
推导（以 \(\arcsin\) 为例）：设 \(y=\arcsin x\)，则 \(\sin y=x\) 且 \(y\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]\)，所以 \(\cos y\ge0\)，于是
\(\arctan\) 同理：\(y=\arctan x\Rightarrow \sec^2y\cdot y'=1\Rightarrow y'=\cos^2y=\dfrac{1}{1+\tan^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}\)。
【点评】 两个易错细节：
① \(\arccos\) 与 \(\operatorname{arccot}\) 是负号，别抄漏；
② \(\operatorname{arcsec}\) 的分母带绝对值 \(\lvert x\rvert\)，因为 \(\sec y=x\) 时 \(\tan y=\pm\sqrt{x^2-1}\) 的符号取决于 \(x\) 的正负，而 \(y' =\frac{1}{\sec y\tan y}\)，\(\sec y\tan y\) 与 \(x\) 同号。把绝对值写成 \(x\) 是最常见的错误。
3.4 高阶导数
由 \(\sin\) 出发，每求一次导，相位前进 \(\frac\pi2\)：\(\sin\to\cos\to-\sin\to-\cos\to\sin\)，四阶一循环。
对乘积用莱布尼茨公式：
【点评】 高阶导数的三角题，标准套路是"莱布尼茨公式 + 相位法"：把 \(\sin/\cos\) 的 \(n\) 阶导写成带相位的闭式，多项式部分只求几阶就变成 0，求和自动截断。不要一阶一阶地硬求。
3.5 隐函数与参数方程
隐函数：\(F(x,y)=0\) 中若含三角，直接两边对 \(x\) 求导。例如 \(\sin(xy)=x\)：
参数方程 \(x=\varphi(t),y=\psi(t)\)：
摆线 \(x=t-\sin t,\ y=1-\cos t\) 是一个必练的例子：
第四部分 积分公式
4.1 基本不定积分表
| \(\displaystyle\int\) | \(=\) |
|---|---|
| \(\sin x\,dx\) | \(-\cos x+C\) |
| \(\cos x\,dx\) | \(\sin x+C\) |
| \(\tan x\,dx\) | \(-\ln\lvert\cos x\rvert+C=\ln\lvert\sec x\rvert+C\) |
| \(\cot x\,dx\) | \(\ln\lvert\sin x\rvert+C\) |
| \(\sec x\,dx\) | \(\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C\) |
| \(\csc x\,dx\) | \(\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert+C\) |
| \(\sec^2x\,dx\) | \(\tan x+C\) |
| \(\csc^2x\,dx\) | \(-\cot x+C\) |
| \(\sec x\tan x\,dx\) | \(\sec x+C\) |
| \(\csc x\cot x\,dx\) | \(-\csc x+C\) |
\(\int\sec x\,dx\) 的推导（分子分母同乘 \(\sec x+\tan x\)）：
\(\int\csc x\,dx\) 完全对称（同乘 \(\csc x-\cot x\)），得到 \(\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert+C\)。
【点评】 这个"同乘共轭"的技巧是凑微分 \(\int\frac{f'}{f}dx=\ln\lvert f\rvert+C\) 的教科书级应用。\(\csc\) 的版本注意是减号（\(\csc x-\cot x\)）——因为 \((\csc x-\cot x)'=-\csc x\cot x+\csc^2x=\csc x(\csc x-\cot x)\)，减号在这里是"设计好的"。
4.2 平方型
4.3 三个"高频特殊"积分
\(\int\sec^3x\,dx\) 的推导（分部积分 + 自指解方程）：
把 \(\int\sec^3x\,dx\) 移到左边：
即得结论。
【点评】 这是"自指积分"的范式：分部积分后原积分重新出现，解代数方程即可。
\(\csc^3\) 的符号是重灾区：\(\int\csc^3x\,dx=\frac12\big(\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert-\csc x\cot x\big)\)，即对数项取正、乘积项取负。很多人按"和 \(\sec\) 对称"的记忆写成 \(-\frac12(\csc x\cot x+\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert)\)——这个式子是错的，它的导数是 \(\csc^3x-\csc x\)，比正确答案少一项 \(-\csc x\)。（这条错误是本次 sympy 验算抓出来的，详见 易错点 1。）
简便记忆：把 \(\sec\) 的公式中所有 \(\tan\) 换成 \((-\cot)\)、\(\sec\) 换成 \((-\csc)\)、\(\ln\) 里 \(\sec+\tan\) 换成 \(\csc-\cot\)，再整体约掉符号，就得到 \(\csc\) 的版本。
4.4 递推公式
\(\tan^n\) 型：
\(\sec^n\) 型：
\(\sin^n\) 型：
\(\cos^n\) 型：
\(\sin^mx\cos^nx\) 型（\(m,n\) 均偶时）先用降幂公式把幂次降一半再递推。
【点评】 四条递推公式的推导手法完全相同：留一个因子凑微分，其余用平方关系转化，分部积分后得到 \(J_n\) 与 \(J_{n-2}\) 的关系。不要背四条，背一条（比如 \(\tan^n\) 的）并理解手法，考试现推只需两行。
用递推时注意 \(n\) 的奇偶决定了基例：\(\tan\) 型基例是 \(n=1\)（对数）和 \(n=0\)（\(x\)）；\(\sec\) 型基例是 \(n=1\)（对数）和 \(n=0\)（\(x\)）。
4.5 含 \(a^2\pm x^2\) 的标准型（三角代换的产物）
【点评】 这五个公式全部来自三角代换，它们是把代换结果"回代"后再化简的产物。要不要背？建议背，因为它们出场率极高（有理函数积分、根式积分、物理里的洛伦兹线型）。但更要会推——推导见技巧 2。
第五部分 定积分中的定理
5.1 华里士公式（Wallis）
前几个具体值：
四个必须知道的推广（注意 \([0,\pi]\) 与 \([0,2\pi]\) 的规则完全不同）：
数值对照表（可直接核对）：
| \(n\) | \(\int_0^{\pi/2}\sin^n\) | \(\int_0^{\pi}\sin^n\) | \(\int_0^{2\pi}\sin^n\) | \(\int_0^{\pi}\cos^n\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(1\) | \(2\) | \(0\) | \(0\) |
| 2 | \(\frac\pi4\) | \(\frac\pi2\) | \(\pi\) | \(\frac\pi2\) |
| 3 | \(\frac23\) | \(\frac43\) | \(0\) | \(0\) |
| 4 | \(\frac{3\pi}{16}\) | \(\frac{3\pi}{8}\) | \(\frac{3\pi}{4}\) | \(\frac{3\pi}{8}\) |
| 5 | \(\frac{8}{15}\) | \(\frac{16}{15}\) | \(0\) | \(0\) |
| 6 | \(\frac{5\pi}{32}\) | \(\frac{5\pi}{16}\) | \(\frac{5\pi}{8}\) | \(\frac{5\pi}{16}\) |
为什么 \(\sin\) 和 \(\cos\) 在 \([0,\pi]\) 上表现不同？ 因为 \(\cos x\) 在 \([0,\pi]\) 上关于 \(x=\frac\pi2\) 反对称（\(\cos(\pi-x)=-\cos x\)），而 \(\sin\) 关于 \(x=\frac\pi2\) 对称（\(\sin(\pi-x)=\sin x\)）。所以 \(\cos^{2k+1}\) 在 \([0,\pi]\) 上正负抵消积分为 0，\(\sin^{2k+1}\) 则是正的部分翻倍。
【点评】 华里士公式有三个使用前提，缺一不可：① 区间必须是 \([0,\frac\pi2]\)（用对称性化到它）；② \(\sin\) 与 \(\cos\) 地位相同（因为 \(\cos x=\sin(\frac\pi2-x)\)）；③ 幂次 \(n\) 是常数，不能含 \(x\)。
最常见的错用：把 \(\int_0^{\pi}\sin^3x\,dx\) 按"奇数得 0"算成 0——这是错的，它等于 \(\frac43\)。"奇数得 0"只对 \([0,2\pi]\)（或 \([-\pi,\pi]\)，即一个完整周期）成立，因为那时 \(n\) 为奇数意味着被积函数是奇函数在对称区间上积分。\(\sin\) 在 \([0,\pi]\) 上恒非负，积分不可能是 0。详见易错点 5。
5.2 对称性与奇偶性
三角函数中：
- 奇函数：\(\sin x,\ \tan x,\ \cot x,\ \csc x,\ \arcsin x,\ \arctan x,\ \operatorname{arccsc}x\)（以及它们与奇函数之积，如 \(x^2\sin x\)）
- 偶函数：\(\cos x,\ \sec x,\ \lvert\sin x\rvert,\ \arccos x,\ \operatorname{arcsec}\lvert x\rvert\)（以及 \(\sin^2x,\cos^2x,\sin x\cos x\) 中除最后一个外都是偶）
例：\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin x\,dx=0\)（奇函数，秒杀）；\(\displaystyle\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}{2}\)（半圆面积）。
5.3 区间再现公式（King's Property）
在三角场景下的三个最常用特例：
最后一条的证明：记原积分为 \(I\)，作 \(x\to\frac\pi2-x\) 得
两式相加（分母相同，分子相加恰为分母）：
由此立刻得到一票"看起来很吓人"的结果：
关键：\(\tan\) 的幂次是多少完全无关。
【点评】 区间再现是定积分里性价比最高的技巧：不用求原函数，只做一次变量代换。识别信号是"区间端点之和是特殊值（\(\frac\pi2\)、\(\pi\)、\(\frac\pi4\)）且被积函数在 \(x\to a+b-x\) 下变成结构相似的形式"。看到 \(\frac{f(\sin)}{f(\sin)+f(\cos)}\) 这种"分子分母同构"的形状，条件反射地写区间再现。
5.4 三角函数系的正交性
在 \([-\pi,\pi]\)（或任意长度 \(2\pi\) 的区间）上：
在 \([0,\pi]\) 上（半区间）相应为：
【点评】 正交性就是"不同频率的三角波互不干扰"这一物理事实的数学形式。它的证明完全靠 1.4 的积化和差：把 \(\sin mx\sin nx\) 拆成 \(\frac12[\cos(m-n)x-\cos(m+n)x]\)，两项在完整周期上各自的积分为 0（\(m\ne n\) 时）或恰有一项存活（\(m=n\) 时）。
它在微积分里的三大用途：① 算傅里叶系数（下一节）；② 算 \(\int\sin mx\cos nx\) 型积分时直接判零；③ 在物理/信号里解释"能量按频率分解"。
5.5 傅里叶系数与收敛定理
若 \(f\) 以 \(2\pi\) 为周期、在 \([-\pi,\pi]\) 上可积（绝对可积），则它的傅里叶系数为
狄利克雷收敛定理：若 \(f\) 以 \(2\pi\) 为周期且在一个周期内分段单调、只有有限个第一类间断点，则其傅里叶级数
处处收敛，且
两个经典展开（务必记住形状）：
【点评】 收敛定理中"间断点处收敛到左右极限的平均值"是最常考的一句话。方波在 \(x=0\) 处左右极限是 \(-1\) 与 \(+1\)，级数收敛到 \(0\)——而 \(\sum\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}\) 在 \(x=0\) 确实为 0。由此还能溢出莱布尼茨级数 \(\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac\pi4\)（取 \(x=\frac\pi2\)）。
\(\lvert\sin x\rvert\) 的展开只有偶次谐波 \(2n\)——这是"整流后的正弦波只含偶次谐波"这一电工常识的数学来源，注意系数分母是 \(4n^2-1\) 而不是 \(n^2\)。
5.6 周期性与平均值
设 \(f\) 以 \(T\) 为周期，则 \(\displaystyle\int_a^{a+T}f=\int_0^Tf\)（积分值与起点无关），且
三角函数的两个核心平均值：
由此得到物理里的有效值（RMS）：
【点评】 \(\overline{\sin^2x}=\frac12\) 是交流电 \(220\text{V}\) 是有效值、峰值约 \(311\text{V}\) 的全部数学内容。它也解释了为什么功率公式里出现 \(\frac12\) 因子（\(\frac12LI_0^2\)、\(\frac12CU_0^2\) 里的 \(\frac12\) 都源于此）。
第六部分 应用技巧十二讲（核心）
技巧 1 幂次积分的"奇偶分治"
处理 \(\displaystyle\int\sin^mx\cos^nx\,dx\) 的判定树：
| 情形 | 策略 | 例 |
|---|---|---|
| \(m\) 为奇 | 拆出一个 \(\sin x\) 凑 \(d(\cos x)\)，其余 \(\sin^{m-1}=\big(1-\cos^2\big)^{(m-1)/2}\) 全部换 \(\cos\) | \(\int\sin^3x\cos^4x\,dx\) |
| \(n\) 为奇 | 拆出一个 \(\cos x\) 凑 \(d(\sin x)\) | \(\int\sin^2x\cos^3x\,dx\) |
| \(m,n\) 均偶 | 降幂（1.3）把幂次减半，展开后逐项积 | \(\int\sin^4x\cos^2x\,dx\) |
| \(m,n\) 均偶且区间是 \([0,\frac\pi2]\) | 直接华里士，不用算原函数 | \(\int_0^{\pi/2}\sin^4x\cos^2x\,dx\) |
三个范例（均已验算）：
【点评】 记忆诀窍："谁的幂是奇数，就留一个给 \(dx\)，剩下的换成另一个人。" 若两个都是奇数，随便选一个（两条路都对，只是繁简不同）。
若两个都是偶数，没有捷径，只能降幂。这也是为什么 \(\int\sin^2x\,dx\) 必须会——它是所有偶数次幂的基石。
技巧 2 三角代换与回代
三种根式的标准代换：
| 根式 | 代换 | 回代用的三角形 | 恒等式 |
|---|---|---|---|
| \(\sqrt{a^2-x^2}\) | \(x=a\sin t\)，\(dx=a\cos t\,dt\) | 对边 \(x\)、斜边 \(a\)、邻边 \(\sqrt{a^2-x^2}\) | \(1-\sin^2t=\cos^2t\) |
| \(\sqrt{a^2+x^2}\) | \(x=a\tan t\)，\(dx=a\sec^2t\,dt\) | 对边 \(x\)、邻边 \(a\)、斜边 \(\sqrt{a^2+x^2}\) | \(1+\tan^2t=\sec^2t\) |
| \(\sqrt{x^2-a^2}\) | \(x=a\sec t\)，\(dx=a\sec t\tan t\,dt\) | 斜边 \(x\)、邻边 \(a\)、对边 \(\sqrt{x^2-a^2}\) | \(\sec^2t-1=\tan^2t\) |
范例：\(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}}\)。令 \(x=2\tan t\)，\(dx=2\sec^2t\,dt\)：
回代的三条捷径（避免每次画三角形）：
- \(\sin t=\dfrac{x}{a}\)，\(\cos t=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\)，\(\tan t=\dfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\)（第一种代换）
- 记 \(\tan t=\frac xa\Rightarrow \sin t=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}},\ \cos t=\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}\)（第二种）
- 用直角三角形：把代换式写成"\(\frac{\text{某边}}{\text{斜边}}\)"的形式，剩下那条边由勾股定理给出——这是最稳的方法。
【点评】 三角代换的唯一目的是"用平方关系消掉根号"。选哪个代换，就看哪个平方关系能凑出根号里的表达式。这个思路在 \(\sqrt{a^2-x^2}\)、\(\sqrt{x^2\pm a^2}\) 上穷尽了全部可能，没有第四种。
定积分用三角代换时，换元必须换限。若新限出现 \(\arcsin\) 的主值范围外的问题，可以考虑"先求原函数再代回原变量"作为退路。
技巧 3 万能代换 \(t=\tan\frac x2\) 及其陷阱 ★
适用对象：形如 \(\displaystyle\int R(\sin x,\cos x)\,dx\) 的有理式（\(\sin,\cos\) 只以有理方式出现），例如
操作：把 1.6 的四个公式全部代入，得到一个 \(t\) 的有理函数积分，再用部分分式分解。
范例：
★ 陷阱一：\(x=\pi\) 是 \(t\) 的奇点。
\(t=\tan\frac x2\) 在 \(x=\pi\) 处无定义（趋于 \(\pm\infty\)）。所以在 \([0,2\pi]\) 这类跨过 \(\pi\) 的区间上，代换把区间两端都映到 \(t=0\)，形式上得到 \(\int_0^0=0\)——这是错的。必须把区间拆成 \([0,\pi]\) 与 \([\pi,2\pi]\) 两段，每段内 \(t\) 单调，或直接判断该点是否为瑕点。例如
★ 陷阱二：结果只在单侧成立。
代换后的表达式 \(\tan\frac x2\) 在 \(x=\pi\) 附近会跳变，所以最终答案若写成 \(\arctan(\tan\frac x2)\)，只在长度 \(\pi\) 的区间内有效。
★ 陷阱三：不是所有三角积分都值得万能代换。
一行就完，用万能代换会得到 \(t\) 的四次有理函数，苦不堪言。
【点评】 万能代换是最后手段，不是第一手段。正确的取舍顺序是：
① 能凑微分/直接认出原函数的，直接做（如上面的 \(\frac{1}{\sin^2x\cos^2x}\)）；
② 能用辅助角合一或恒等式化简的，先化简（如 \(\int\frac{dx}{\sin x+\cos x}\) 也可以合一成 \(\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)\)）；
③ 前两条都走不通、且被积式确实是 \(\sin,\cos\) 的有理式，才上万能代换。
技巧 4 配对 / 循环积分法
（a）指数 × 三角：求 \(I=\int e^{ax}\sin bx\,dx\)。设 \(I=e^{ax}(c\sin bx+d\cos bx)\)，直接求导定系数：
令其 \(=e^{ax}\sin bx\)，得方程组 \(ac-db=1,\ ad+cb=0\)，解得
故
（b）配对相加法：求 \(I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\) 时，构造 \(I'=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx\)，则
所以 \(I=I'=\frac\pi4\)。（这一题的更简做法是区间再现，见技巧 6。）
（c）自指解方程：\(\int\sec^3x\,dx\)（见 4.3）与 \(\int e^x\cos x\,dx\) 属于此类——分部积分两次后原积分重现，解方程。
【点评】 三类手法的共同思想：不要正面硬算，而是搭一个"伙伴"或"方程"。
（a）的"待定系数"版本比"分部积分两次"更快且不易错，强烈推荐。
技巧 5 分部积分造递推
对含参数的三角积分，用分部积分把 \(n\) 次降到 \(n-1\) 或 \(n-2\) 次。以
为例：\(J_n=\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\,dx=-\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}x\,d(\cos x)\)
边界项为 0（\(n\ge2\)），再把 \(\cos^2=1-\sin^2\) 代入：
配合 \(J_0=\frac\pi2,\ J_1=1\)，即得华里士公式。
同样手法得到 4.4 中全部四条递推公式。
【点评】 递推公式的三个关键动作：① 拆出一个因子凑微分；② 分部积分后边界项必须算出（常常是 0，但必须验证——比如 \(\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}x\cos x\) 在 \(n=1\) 时边界项不为 0）；③ 用平方关系制造"原积分重现"，解出递推关系。
递推必配基例：只给递推不给基例等于什么都没给。写答案时务必带上 \(J_0,J_1\)。
技巧 6 区间再现 + 对称性
识别信号：定积分区间端点和为特殊值（\(\pi\)、\(\frac\pi2\)、\(\frac\pi4\)），被积函数在 \(x\to a+b-x\) 下"形状不变或前后互换"。
三个必会结果（均已验算）：
第一题的完整过程：令 \(x\to\pi-x\)，\(\sin(\pi-x)=\sin x\)，\(\cos^2(\pi-x)=\cos^2x\)，所以
两式相加：
【点评】 区间再现的威力在于：它把 \(x\) 从被积函数里"消掉"。凡是看到被积式里有一个孤零零的因子 \(x\)（或 \(x\) 的奇次幂）乘在别的三角式上、且区间端点和为特殊值，第一反应就应该是区间再现。
注意最后那步用了 \(\int_0^\pi\frac{\sin x\,dx}{1+\cos^2x}\)——这里必须真算（凑微分 \(d(\cos x)\)），不能再"猜"。
技巧 7 等价无穷小与泰勒的分工
| 场景 | 首选 | 理由 |
|---|---|---|
| 乘除结构、只需一阶/二阶 | 等价无穷小 | 最快 |
| 加减结构 | 泰勒 | 等价无穷小不能对加减项替换（易错点 4） |
| 需要 \(x^3\) 及更高阶信息 | 泰勒 | 等价无穷小只给最低阶 |
| 分子分母都是"同阶差式" | 泰勒，展到刚好抵消完的第一项 | 见 \(\tan(\sin x)-\sin(\tan x)\) |
示范：
【点评】 "加减不能替换"这条规则的真正原因：等价无穷小 \(f\sim g\) 意味着 \(f=g+o(g)\)，那个 \(o(g)\) 在乘除里会被约掉或可忽略，但在加减里可能和被减项的最低阶同阶地抵消——此时 \(o(g)\) 反而成了主力。
例：\(\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)，\(\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\)，两者相减时 \(x\) 全部抵消，胜负手落在 \(x^3\) 的系数上。用等价无穷小等于把 \(x^3\) 项扔了。
实用判据：只要分子或分母是"两个同阶量相减"，就必须用泰勒，且展开到相减后第一个非零项。
技巧 8 辅助角公式化简
用于求最值：\(f(x)=3\sin x+4\cos x\) 的值域是 \([-5,5]\)（\(R=\sqrt{3^2+4^2}=5\)）。
用于积分：
用于极限：\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\frac x2}{2\sin\frac x2\cos\frac x2}=\lim_{x\to0}\tan\frac x2=0\)。
用于证明不等式：由 \(\lvert a\sin x+b\cos x\rvert\le\sqrt{a^2+b^2}\) 立得。
【点评】 辅助角的核心价值是"降维"：把"两个耦合的三角项"变成"一个"。任何"看着别扭"的 \(a\sin x+b\cos x\) 组合，合一之后问题往往退化成单频问题，立刻可解。
技巧 9 求反三角函数的积分
标准手法：分部积分，取 \(u=\) 反三角，\(dv=dx\)。
推导（以 \(\arctan\) 为例）：
\(\int\arcsin x\,dx\)：
【点评】 为什么 \(u\) 一定要取反三角？因为反三角求导后变成代数函数（好积），而求积后仍是反三角（难积）。"求导能变简单的那一个当 \(u\)" 是分部积分选 \(u\) 的黄金法则，反三角的优先级最高（LIATE 规则的 A）。
顺带记住：\(\int_0^1\arctan x\,dx=\frac\pi4-\frac12\ln2\)，\(\int_0^1\arcsin x\,dx=\frac\pi2-1\)，这类定积分在概率论里经常出现。
技巧 10 先化简，再积分
绝大多数三角积分题，难的不是积分，而是没想到化简。 优先尝试：
- 平方关系：分母有 \(1+\tan^2\)、\(1+\cot^2\) 立即替换
- 倍角：\(\sin x\cos x\to\frac12\sin2x\)
- 降幂：偶数次幂
- 辅助角：\(a\sin+b\cos\)
- 拆项：\(\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}=\sec^2x-1\)，\(\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}=\sec^2x+\csc^2x\)
示范：
【点评】 第三题是"分子因式分解"的典型：\(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\)，约分后一行完事。看到分母是"和差型"、分子是倍角，先想因式分解。
技巧 11 极坐标与参数方程
极坐标下的面积与弧长：
心形线 \(r=a(1+\cos\theta)\)（\(0\le\theta\le2\pi\)）：
（用了 \(r^2+r'^2=a^2(2+2\cos\theta)=4a^2\cos^2\frac\theta2\)。）
参数方程（弧长与旋转体侧面积）：
摆线 \(x=a(t-\sin t),\ y=a(1-\cos t)\) 的一拱（\(0\le t\le2\pi\)）：
【点评】 极坐标的两个积分都离不开三角恒等式：面积要展开 \((1+\cos\theta)^2\) 再用正交性（\(\int_0^{2\pi}\cos\theta=\int_0^{2\pi}\cos2\theta=0\) 直接杀掉两项），弧长要用半角公式 \(1+\cos\theta=2\cos^2\frac\theta2\) 把根号去掉。
注意绝对值：\(\sqrt{4a^2\cos^2\frac\theta2}=2a\lvert\cos\frac\theta2\rvert\)。省掉绝对值会算出 0（本次验算中 sympy 就栽在这个绝对值上，给出了 \(-4a\)）。去根号必须考虑符号，必要时分段积分。
技巧 12 物理应用
简谐振动 \(x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)\)：
最后这个关系 \(a=-\omega^2x\) 就是简谐运动的定义方程。
周期性外力做功的平均功率：
当力与速度同相（\(\varphi=0\)）时 \(\bar P=\frac{F_0v_0}{2}\)——因为 \(\overline{\sin^2}=\frac12\)。
交流电有效值：见 5.6。
【点评】 物理应用里三角函数的作用几乎只有两条：① 求导时 \(\sin\to\cos\to-\sin\) 的相位循环（对应"速度超前位移 \(\frac\pi2\)"）；② 求平均时 \(\overline{\sin^2}=\overline{\cos^2}=\frac12\)（对应"功率里的 \(\frac12\) 因子"）。其余都是这两条的包装。
第七部分 分档例题
A 组：基础（巩固公式）
例 1 求导 \(y=\sin^2(3x+1)\)
（最后一步用了 \(\sin2u=2\sin u\cos u\)。）
例 2 求 \(\displaystyle\int\sin^3x\cos^2x\,dx\)
\(\sin\) 的幂是奇数，拆一个 \(\sin x\)，其余 \(\sin^2=1-\cos^2\)：
例 3 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x\,dx\)
\(n=3\) 为奇数，用华里士：\(\dfrac{2}{3}\cdot1=\dfrac23\)。
（直接算：\(\int_0^{\pi/2}(1-\sin^2x)\cos x\,dx=\big[\sin x-\frac{\sin^3x}{3}\big]_0^{\pi/2}=1-\frac13=\frac23\)，一致。）
例 4 求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x\sin x}\)
例 5 求 \(\displaystyle\int x\sin x\,dx\)
B 组：中等（组合技巧）
例 6 求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\)
泰勒：\(\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)\)，\(\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\)，相减得 \(\frac{x^3}{2}+O(x^5)\)。
（不能用等价无穷小：\(\frac{x-x}{x^3}=0\) 是错的。见易错点 4。）
例 7 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx\)
设 \(I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx\)。作区间再现 \(x\to\frac\pi2-x\)：
两式相加：\(2I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac\pi2\)，故 \(I=\dfrac\pi4\)。
例 8 求 \(\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sin x}\)
万能代换 \(t=\tan\frac x2\)（技巧 3）：\(dx=\frac{2dt}{1+t^2}\)，\(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\)，
另一条更快的路（分子分母同乘 \(1-\sin x\)）：
两条路都对，结果等价。
例 9 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{\tan x}\,dx\)
先用区间再现（或直接令 \(x\to\frac\pi2-x\)）证明
两式相加：
令 \(u=\sin x-\cos x\)，则 \(u^2=1-2\sin x\cos x\)，\(du=(\cos x+\sin x)dx\)。当 \(x:0\to\frac\pi2\) 时 \(u:-1\to1\)：
例 10 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx\)
见技巧 6，答案 \(\dfrac{\pi^2}{4}\)。
C 组：进阶（定理与综合）
例 11 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln(\sin x)\,dx\)
记 \(I=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin x)dx\)。由区间再现 \(x\to\frac\pi2-x\)，\(I=\int_0^{\pi/2}\ln(\cos x)dx\)。于是
对第一项作 \(u=2x\)：
（用了 \(\sin u\) 在 \([0,\pi]\) 上关于 \(\frac\pi2\) 对称。）所以
副产品：\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln(\tan x)dx=I-I=0\)。
例 12 求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan(\sin x)-\sin(\tan x)}{x^7}\)
需要展开到 \(x^7\)（\(x,x^3,x^5\) 项全部抵消）。
把 \(u=\sin x\) 代入 \(\tan u\) 并整理到 \(x^7\)，把 \(u=\tan x\) 代入 \(\sin u\) 并整理到 \(x^7\)，相减：
例 13 求 \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{dx}{1+\cos^2x}\)
这是"万能代换陷阱"的标准演示题。
先化简：\(1+\cos^2x=\frac{3+\cos2x}{2}\)，于是
再利用公式 \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{du}{a+b\cos u}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\)（\(a>\lvert b\rvert\)），得
若用万能代换且忘记拆区间，会得到 \(\int_0^0=0\) 的荒谬结果——因为 \(t=\tan\frac x2\) 在 \(x=\pi\) 处发散。正确做法是拆成 \([0,\pi]+[\pi,2\pi]\)。
例 14 求 \(f(x)=\lvert\sin x\rvert\) 的傅里叶级数
\(f\) 是偶函数，故 \(b_n=0\)。周期 \(\pi\)（不是 \(2\pi\)！但我们可以按 \(2\pi\) 周期算，此时 \(f(x)=\lvert\sin x\rvert\) 的周期 \(\pi\) 会被自动处理）。
用积化和差 \(\sin x\cos nx=\frac12[\sin(1+n)x+\sin(1-n)x]\)：
- \(n=0\)：\(a_0=\frac2\pi\int_0^\pi\sin x\,dx=\frac4\pi\)，故 \(\frac{a_0}{2}=\frac2\pi\)
- \(n=1\)：\(\frac2\pi\int_0^\pi\sin x\cos x\,dx=\frac1\pi\int_0^\pi\sin2x\,dx=0\)
- \(n\ge2\)：\(\frac1\pi\left[\frac{-\cos(1+n)x}{1+n}+\frac{-\cos(1-n)x}{1-n}\right]_0^{\pi}=-\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1+(-1)^n}{1-n^2}\)，当 \(n\) 为奇数时为 0；当 \(n=2k\) 时为 \(-\dfrac{4}{\pi(1-4k^2)}=\dfrac{4}{\pi(4k^2-1)}\)
注意系数的写法：本文采用 \(\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n\ge1}\big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big)\) 的标准形式，所以 \(n\ge2\) 时级数里 \(\cos2kx\) 的系数就是上面算出的 \(a_{2k}=\dfrac{4}{\pi(4k^2-1)}\)，而常数项是 \(\dfrac{a_0}{2}=\dfrac2\pi\)（不是 \(a_0=\frac4\pi\)——这一步最容易错）。
最终：
校验：取 \(x=0\)，左边 \(=0\)，右边 \(=\frac2\pi-\frac4\pi\sum_{k\ge1}\frac{1}{4k^2-1}\)。而 \(\sum_{k\ge1}\frac{1}{4k^2-1}=\frac12\)，故右边 \(=\frac2\pi-\frac{2}{\pi}=0\) ✓。
例 15 求心形线 \(r=a(1+\cos\theta)\) 所围面积与弧长
见技巧 11：\(A=\dfrac{3\pi a^2}{2}\)，\(L=8a\)。
第八部分 易错点清单
这一节是本文最有价值的部分之一。
易错点 1、13、14 是本次 sympy 验算过程中真实抓到的错误——也就是说，如果不验算，它们就会作为"正确公式"写进本文。其余为教学中的高频踩坑点。
把"自己差点犯的错"和"学生常犯的错"放在一起，是因为它们的成因完全一样：三角公式的对称性会诱导你写出一个看起来更漂亮、但实际差了半项的式子。
易错点 1 \(\int\csc^3x\,dx\) 的符号写反
错误写法：
错在哪：求导验证。设 \(F=-\frac12(\csc x\cot x+\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert)\)，则
比正确答案少了 \(-\csc x\)（即多减了一个 \(\csc x\)）。
正确写法：
为什么会错：\(\sec\) 的公式是 \(\frac12(\sec x\tan x+\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert)\)，两个"\(+\)"看起来对称漂亮。但 \(\csc\) 的情况不对称：因为 \((\csc x-\cot x)'=+\csc x(\csc x-\cot x)\)，而对数项导数 \(+\csc x\) 要抵消的是 \(-\frac12\csc x\cot^2x\) 里多出来的 \(-\frac12\csc x\)，所以对数项必须取 \(+\)、乘积项取 \(-\)。
怎么记："\(\csc\) 的对数项是正的"——因为 \(\ln\) 里的 \((\csc-\cot)\) 求导后带 \(+\) 号。
【点评】 这条错误是本次验算的实际产物：我第一稿写的正是那个"对称漂亮"的错式，sympy 的
simplify(diff(F,x) - csc(x)**3)返回-1/sin(x)，才把它揪出来。这就是"必须先验算再落笔"的最直接证据——一个看起来更"对称"的公式，恰恰是错的。
易错点 2 万能代换在跨过 \(x=\pi\) 的区间上失效
\(t=\tan\frac x2\) 在 \(x=\pi\) 处无定义。因此：
- 在 \([0,2\pi]\) 上用 \(t\) 代换，区间两端都映到 \(t=0\)，会得到 \(\int_0^0=0\) 的荒谬结果（例 13）。
- 正确做法：拆成 \([0,\pi]\) 与 \([\pi,2\pi]\) 两段分别代换，或换用别的方法。
同类陷阱：\(t=\tan x\) 在 \(x=\frac\pi2\) 处无定义；\(u=\sec x\) 在 \(x=\frac\pi2\) 处无定义。凡是代换函数在积分区间内取到无穷，就必须拆段。
易错点 3 \(\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x\) 漏掉绝对值
原因：\(y=\operatorname{arcsec}x\Rightarrow \sec y=x\Rightarrow \sec y\tan y\cdot y'=1\Rightarrow y'=\dfrac{1}{x\tan y}\)。而 \(\tan y=\pm\sqrt{x^2-1}\)，符号与 \(x\) 相同（因为 \(\sec y\) 与 \(\tan y\) 在 \(y\in(0,\frac\pi2)\cup(\pi,\frac{3\pi}2)\) 上同号），所以 \(x\tan y=\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}\)。
数值验证（\(x=2\)）：\(1/(\lvert2\rvert\sqrt3)=0.28867513\)，与中心差分 \(0.2886751\) 一致；若写成 \(1/(x\sqrt{x^2-1})\)，在 \(x=-2\) 处会给出 \(-0.2887\)，而真值是 \(+0.2887\)。
【点评】 这个绝对值在积分里更致命：\(\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac1a\operatorname{arcsec}\lvert\frac xa\rvert+C\)。若漏绝对值，在 \(x<0\) 的部分答案就错了。
附带一条元教训：本次用 sympy 验证这条公式时，diff(asec(x), x)在符号被声明为正数时竟返回了 \(0\)（一个 sympy 的化简 bug），差点让我误判公式有错。最终靠中心差分数值验证才定案。符号系统会骗你，数值不会——两种手段都要用。
易错点 4 等价无穷小用于"加减"结构
正确：\(\frac12\)（泰勒展开）。
规则：等价无穷小替换只对乘除因子成立。若 \(f\sim f_1,\ g\sim g_1\)，则 \(fg\sim f_1g_1\)、\(f/g\sim f_1/g_1\) 都对，但 \(f-g\) 与 \(f_1-g_1\) 一般不等价。
判据：分子或分母中只要出现"两个同阶量相减"，立刻改用泰勒，并展开到相减后第一个非零项。
易错点 5 华里士公式的适用条件
三个前提：① 区间 \([0,\frac\pi2]\)；② 幂次是常数；③ 被积的是纯 \(\sin^n\) 或纯 \(\cos^n\)（\(\sin^m\cos^n\) 需先化简）。
典型错误：
"奇数幂得 0"只对完整周期 \([0,2\pi]\) 或对称区间 \([-\pi,\pi]\) 成立。对 \([0,\pi]\)，\(\sin^3x\ge0\)，积分不可能是 0。
易错点 6 定积分换元不换限
若令 \(u=\sin x\) 却仍写 \(\int_0^{\pi/2}\)，就错了。换元必换限：\(x:0\to\frac\pi2\) 对应 \(u:0\to1\)，
易错点 7 \(\cot\)、\(\csc\) 的导数漏负号
\(\cos,\cot,\csc\) 三个"\(\mathrm{co}\)"开头的函数，求导全部带负号。
易错点 8 忽略 \(1+\cos\theta=2\cos^2\frac\theta2\) 的绝对值
在 \(\theta\in[0,\pi]\) 上 \(\cos\frac\theta2\ge0\)，但在 \(\theta\in[\pi,2\pi]\) 上为负。心形线弧长算成 0 就是这个原因（本次验算时 sympy 也给出了错误的 \(-4a\)，说明连符号系统都会栽在这里）。
易错点 9 反三角的"主值范围"被忽略
- \(\arcsin(\sin x)=x\) 只在 \(x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]\) 成立；
- \(\arctan x+\arctan\frac1x=\frac\pi2\) 只在 \(x>0\) 成立（\(x<0\) 时为 \(-\frac\pi2\)）；
- \(\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy}\) 只在 \(xy<1\) 成立。
易错点 10 泰勒展开深度不足
求 \(\lim_{x\to0}\frac{\tan(\sin x)-\sin(\tan x)}{x^7}\) 时，若只展开到 \(x^5\)，会得到 \(0\)——但那只是说明展开不够深，不说明极限是 0。
判据：展开到"相减后第一个非零项出现"为止。若算出来全为 0，就再加一阶。
易错点 11 把 \(\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx\) 当成绝对收敛
前者收敛是因为振荡抵消，后者发散是因为 \(\lvert\sin x\rvert\) 的平均值是 \(\frac2\pi\)，\(\int^{\infty}\frac{2}{2\pi x}dx\) 像调和级数一样发散。"收敛"不等于"绝对收敛"。
易错点 12 \(\int_0^{2\pi}\) 上"偶数次幂也是 0"
错。只有奇数次幂在完整周期上积分为 0：
后者是因为 \(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\ge0\)，不可能积出 0。
易错点 13 三角代换的常数系数被吞掉
错误示范（本文初稿的真实错误）：
\(3\times\frac32=\frac92\)，不是 \(\frac94\)。一步之差，最终答案正好差一倍：错误答案 \(\frac98\arcsin\frac{2x}{3}+\frac{x\sqrt{9-4x^2}}{4}\) 恰恰是正确答案 \(\frac94\arcsin\frac{2x}{3}+\frac{x\sqrt{9-4x^2}}{2}\) 的一半。
为什么会错：代换 \(x=ku\) 时，\(dx=k\,du\)，被积函数里的 \(x\) 又要换成 \(ku\)，两处常数相乘。手写时容易只记一处。
防错手段：先把代换写成 \(u=\frac xk\) 的形式，把所有常数一次性提到积分号外面，再写积分式。或者用 4.5 的通用公式交叉验证（本文 B10 就是这么查出错的）。
易错点 14 傅里叶级数里 \(\frac{a_0}{2}\) 写成 \(a_0\)
傅里叶级数的标准形式是
常数项是 \(\frac{a_0}{2}\)，不是 \(a_0\)。 例如 \(f(x)=\lvert\sin x\rvert\)：
若误写成 \(\frac4\pi\)，在 \(x=0\) 处代入就得不到 0，错误立刻暴露——这正是"用特殊点校验级数"的价值：得到一个级数展开后，随手代 \(x=0\) 或 \(x=\frac\pi2\)，几乎总能在十秒内发现系数错误。
检验清单：
| 检查点 | 期望 |
|---|---|
| \(x=0\) | \(\lvert\sin0\rvert=0\)，级数应为 \(\frac2\pi-\frac4\pi\sum_{k\ge1}\frac{1}{4k^2-1}=\frac2\pi-\frac4\pi\cdot\frac12=0\) ✓ |
| \(x=\frac\pi2\) | \(\lvert\sin\frac\pi2\rvert=1\)，级数应为 1 ✓ |
| 奇偶性 | 偶函数 ⟹ 无 \(\sin\) 项；奇函数 ⟹ 无 \(\cos\) 项且 \(a_0=0\) |
| 间断点 | 级数收敛到左右极限平均值 |
附录 A 一页速查表
导数
积分
定积分
等价无穷小（\(x\to0\)）
泰勒（前三阶非零项）
附录 B 练习题（含折叠解答）
第一组 公式直接应用
B1. 求 \(\dfrac{d}{dx}\left[\sec^2(3x)\right]\)。
解答
B2. 求 \(\displaystyle\int\frac{\cos x}{1+\sin^2x}dx\)。
解答
令 \(u=\sin x\)，\(du=\cos x\,dx\)：
B3. 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^8x\,dx\)。
解答
\(n=8\) 偶：\(\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac56\cdot\dfrac34\cdot\dfrac12\cdot\dfrac\pi2=\dfrac{35\pi}{256}\)。
B4. 求 \(\displaystyle\int\tan^5x\,dx\)。
解答
用递推 \(\int\tan^n=\frac{\tan^{n-1}}{n-1}-\int\tan^{n-2}\)：
第二组 极限
B5. 求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x\cos2x}{x^2}\)。
解答
用 \(\cos x\cos2x=\frac12(\cos3x+\cos x)\)：
B6. 求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)。
解答
泰勒：\(x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}\)，故极限 \(=\dfrac16\)。
（用洛必达需三次，易出错。）
B7. 求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\tan x}\right)\)。
解答
（分母 \(\tan x\sim x\)，是乘除结构，可以替换。）
第三组 积分技巧
B8. 求 \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x+\cos x}\)（用辅助角）。
解答
\(\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)\)，故
B9. 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2x(1+\tan x)}\)。
解答
令 \(u=\tan x\)，\(du=\sec^2x\,dx\)，限 \(0\to1\)：
B10. 求 \(\displaystyle\int\sqrt{9-4x^2}\,dx\)。
解答
令 \(2x=3\sin t\)，\(x=\frac32\sin t\)，\(dx=\frac32\cos t\,dt\)：
回代 \(t=\arcsin\frac{2x}{3}\)，\(\sin2t=2\sin t\cos t=2\cdot\frac{2x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9-4x^2}}{3}=\frac{4x\sqrt{9-4x^2}}{9}\)：
交叉验证：用 4.5 的通用公式 \(\int\sqrt{a^2-u^2}\,du=\frac u2\sqrt{a^2-u^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac ua\)，取 \(a=3,u=2x,du=2dx\)：
【点评】 本题是系数出错的重灾区（本文初稿就在这里写成了 \(\frac98\arcsin+\frac{x\sqrt{}}{4}\)，正好是正确答案的一半——被 sympy 验算抓出）。出错点在"\(\int3\cos t\cdot\frac32\cos t\,dt\)"这一步：\(3\times\frac32=\frac92\) 而不是 \(\frac94\)。遇到 \(x=ku\) 型代换，务必先把常数系数全部提到积分号外，再动笔。 详见易错点 13。
第四组 定积分与定理
B11. 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\sin^2x}\)。
解答
用 \(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\)：
B12. 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\tan^{2026}x}\)。
解答
由区间再现的推论（\(a\) 任意）：\(\dfrac\pi4\)。
（不要真的去展开 \(\tan^{2026}\)。）
B13. 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin^3x\,dx\)。
解答
区间再现：\(\int_0^\pi x f(\sin x)dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx\)，故
B14. 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln(\tan x)\,dx\)。
解答
区间再现 \(x\to\frac\pi2-x\)：\(I=\int_0^{\pi/2}\ln(\cot x)dx=-I\)，故 \(I=0\)。
（也可用 \(\int_0^{\pi/2}\ln(\sin x)=\int_0^{\pi/2}\ln(\cos x)\) 相减得 0。）
第五组 综合
B15. 求 \(\displaystyle\int\frac{dx}{3+5\cos x}\)。
解答
万能代换（注意 \(a^2-b^2=9-25<0\)，需先判断符号——这里 \(3+5\cos x\) 会变号，是真分式不可积为 \(\arctan\) 的情形，需用 \(\ln\) 形式）。
更稳妥：用部分分式。设 \(t=\tan\frac x2\)：
（在 \(t=\pm2\) 处即 \(x=\pm2\arctan2\) 处发散，与 \(3+5\cos x=0\) 一致。）
B16. 求 \(\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-2x}\sin3x\,dx\)。
解答
代入公式 \(\int e^{ax}\sin bx=\frac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}\)，取 \(x\to\infty\) 时 \(e^{-2x}\to0\)：
B17. 求曲线 \(r=1+\cos\theta\) 在 \(\theta\in[0,\pi]\) 上的弧长。
解答
在 \([0,\pi]\) 上 \(\cos\frac\theta2\ge0\)：
（上半全长 4，全周长 8。）
B18. 把 \(f(x)=x\)（\(-\pi<x<\pi\)）展成傅里叶级数，并由此求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\)。
解答
\(f\) 是奇函数，\(a_n=0\)。
故
取 \(x=\frac\pi2\)：\(\frac\pi2=2\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sin\frac{n\pi}{2}\)，只留 \(n\) 为奇数的项，得 \(\frac\pi4=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^k}{2k+1}\)（莱布尼茨级数）。
若取 \(x=\frac\pi2\) 直接整理可得 \(\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln2\)（用 \(x\to\pi^-\) 的收敛性 + 阿贝尔定理）。
附录 C 符号与约定
符号
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \(\sin x,\ \cos x,\ \tan x,\ \cot x,\ \sec x,\ \csc x\) | 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，角度一律用弧度制 |
| \(\arcsin,\arccos,\arctan,\operatorname{arccot},\operatorname{arcsec},\operatorname{arccsc}\) | 反三角函数的主值分支 |
| \(n!!\) | 双阶乘：\(n!!=n(n-2)(n-4)\cdots\)，例如 \(5!!=5\cdot3\cdot1=15\)，\(6!!=6\cdot4\cdot2=48\) |
| \(\lvert x\rvert\) | 绝对值（积分公式里大量出现，不可省略） |
| \(C\) | 任意常数 |
| \(O(x^n)\) / \(o(x^n)\) | 同阶/高阶无穷小记号 |
| \(\mathbb R\) | 实数集 |
约定
- 弧度制：本文所有极限、导数、泰勒展开公式只在弧度制下成立。若用角度制，\((\sin x^\circ)'=\frac{\pi}{180}\cos x^\circ\)，一切公式都要乘系数。
- 积分常数：不定积分的 \(+C\) 有时省略不写，但书写答案时必须补上。
- 区间与瑕点：凡涉及 \(\tan,\sec,\csc,\cot\) 的定积分，必须检查区间内是否含瑕点（\(x=\frac\pi2+k\pi\) 对 \(\tan/\sec\)，\(x=k\pi\) 对 \(\cot/\csc\)）。
- 绝对值：\(\ln\) 里的表达式一律加绝对值；\(\sqrt{x^2}=|x|\) 不必写成 \(x\)。
- 主值：反三角函数的取值一律取主值分支。
- 定积分换元：三角代换用于定积分时，必须同时换积分限；若新限涉及主值范围问题，可改用"先求不定积分再代回原变量"。
参考验算
本文全部公式由 sympy 1.13.1 符号验证，脚本为同目录下 _verify_trig.py 与 _verify_trig2.py，覆盖 110+ 条断言（导数、原函数、定积分、恒等式、极限、级数、极坐标几何）。验算抓出的真实错误已列入第八部分。
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