微积分中的三角函数

可以。你现在是在系统梳理微积分中的三角函数 → 微分 → 积分 → 换元/链式法则，所以最好不要把它当成一张零散的“公式表”，而是按三角函数本身 → 恒等式 → 导数 → 积分 → 反三角函数建立一套体系。

一、六个基本三角函数

直角三角形中：

函数	定义
正弦	\(\displaystyle \sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\)
余弦	\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\)
正切	\(\displaystyle \tan\theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
余切	\(\displaystyle \cot\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{对边}}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\)
正割	\(\displaystyle \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}\)
余割	\(\displaystyle \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}\)

最重要的两个倒数关系：

\[\boxed{\sec x=\frac1{\cos x}},\qquad \boxed{\csc x=\frac1{\sin x}} \]

以及：

\[\boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}} \]

\[\boxed{\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}} \]

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二、最重要的三角恒等式

1. 勾股恒等式——微积分中最重要

\[\boxed{\sin^2x+\cos^2x=1} \]

由它可以得到：

\[\boxed{1+\tan^2x=\sec^2x} \]

以及：

\[\boxed{1+\cot^2x=\csc^2x} \]

这三个最好直接记成一组：

\[\boxed{ \begin{aligned} \sin^2x+\cos^2x&=1\\ 1+\tan^2x&=\sec^2x\\ 1+\cot^2x&=\csc^2x \end{aligned}} \]

它们在积分、化简、求导、微分方程中都会反复出现。

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三、和差公式

正弦和差

\[\boxed{\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b} \]

\[\boxed{\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b} \]

余弦和差

\[\boxed{\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b} \]

\[\boxed{\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b} \]

正切和差

\[\boxed{ \tan(a+b)= \frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b} } \]

\[\boxed{ \tan(a-b)= \frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b} } \]

微积分里尤其常见的是正弦、余弦的和差公式。

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四、倍角公式

正弦

\[\boxed{\sin2x=2\sin x\cos x} \]

余弦

有三个常用形式：

\[\boxed{\cos2x=\cos^2x-\sin^2x} \]

利用 (\sin^2x+\cos2x=1)：

\[\boxed{\cos2x=2\cos^2x-1} \]

\[\boxed{\cos2x=1-2\sin^2x} \]

这几个在三角函数积分中特别重要。

例如：

\[\boxed{\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}} \]

\[\boxed{\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}} \]

这叫半角公式，实际上就是把平方降下来。

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五、奇偶性

非常适合微积分。

\[\boxed{\sin(-x)=-\sin x} \]

所以 (\sin x) 是奇函数。

\[\boxed{\cos(-x)=\cos x} \]

所以 (\cos x) 是偶函数。

同理：

\[\boxed{\tan(-x)=-\tan x} \]

\[\boxed{\cot(-x)=-\cot x} \]

\[\boxed{\sec(-x)=\sec x} \]

\[\boxed{\csc(-x)=-\csc x} \]

因此：

函数	奇偶性
(\sin x)	奇
(\cos x)	偶
(\tan x)	奇
(\cot x)	奇
(\sec x)	偶
(\csc x)	奇

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六、周期性

\[\boxed{\sin(x+2\pi)=\sin x} \]

\[\boxed{\cos(x+2\pi)=\cos x} \]

\[\boxed{\tan(x+\pi)=\tan x} \]

\[\boxed{\cot(x+\pi)=\cot x} \]

所以：

\[\sin x,\cos x,\sec x,\csc x \]

周期为：

\[\boxed{2\pi} \]

而：

\[\tan x,\cot x \]

周期为：

\[\boxed{\pi} \]

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七、特殊角

微积分中最好熟悉下面这张表：

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
角度	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac12\)	\(0\)
\(\tan x\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt3}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt3\)	不存在

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八、三角函数的微分——必须掌握

这是微积分最核心的一组。

\[\boxed{\frac{d}{dx}\sin x=\cos x} \]

\[\boxed{\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x} \]

\[\boxed{\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x} \]

\[\boxed{\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x} \]

\[\boxed{\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x} \]

\[\boxed{\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x} \]

建议直接形成这个循环：

\[\boxed{ \sin x \xrightarrow{d} \cos x \xrightarrow{d} -\sin x \xrightarrow{d} -\cos x \xrightarrow{d} \sin x } \]

也就是说：

\[\sin x \rightarrow \cos x \rightarrow -\sin x \rightarrow -\cos x \rightarrow \sin x \]

每四次导数循环一次。

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九、为什么 (\tan x) 的导数是 (\sec^2x)？

从定义出发：

\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \]

利用商法则：

\[(\tan x)' = \frac{ \cos x\cos x-\sin x(-\sin x) }{ \cos^2x } \]

所以：

\[= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} \]

由于：

\[\sin^2x+\cos^2x=1 \]

得到：

\[=\frac1{\cos^2x} \]

而：

\[\sec x=\frac1{\cos x} \]

所以：

\[\boxed{(\tan x)'=\sec^2x} \]

这就是三角恒等式 + 微分法则结合的典型例子。

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十、三角函数积分

积分实际上可以直接从导数表反过来。

\[\boxed{\int\cos x\,dx=\sin x+C} \]

因为：

\[(\sin x)'=\cos x \]

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\[\boxed{\int\sin x\,dx=-\cos x+C} \]

注意这里的负号。

因为：

\[(-\cos x)'=\sin x \]

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\[\boxed{\int\sec^2x\,dx=\tan x+C} \]

\[\boxed{\int\csc^2x\,dx=-\cot x+C} \]

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\[\boxed{\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C} \]

\[\boxed{\int\csc x\cot x\,dx=-\csc x+C} \]

因此可以建立一一对应：

导数	对应积分
\((\sin x)'=\cos x\)	\(\int\cos xdx=\sin x+C\)
\((\cos x)'=-\sin x\)	\(\int\sin xdx=-\cos x+C\)
\((\tan x)'=\sec^2x\)	\(\int\sec^2xdx=\tan x+C\)
\((\cot x)'=-\csc^2x\)	\(\int\csc^2xdx=-\cot x+C\)
\((\sec x)'=\sec x\tan x\)	\(\int\sec x\tan xdx=\sec x+C\)
\((\csc x)'=-\csc x\cot x\)	\(\int\csc x\cot xdx=-\csc x+C\)

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十一、非常重要：含 \(ax+b\) 的三角函数

这和你最近学习的链式法则、换元法直接相关。

例如：

\[\int\cos(3x)\,dx \]

不能直接写成：

\[\sin(3x) \]

因为：

\[\frac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x) \]

因此必须除以 3：

\[\boxed{ \int\cos(3x)\,dx = \frac13\sin(3x)+C } \]

一般规律：

\[\boxed{ \int\cos(ax+b)\,dx = \frac1a\sin(ax+b)+C } \]

同理：

\[\boxed{ \int\sin(ax+b)\,dx = -\frac1a\cos(ax+b)+C } \]

以及：

\[\boxed{ \int\sec^2(ax+b)\,dx = \frac1a\tan(ax+b)+C } \]

\[\boxed{ \int\csc^2(ax+b)\,dx = -\frac1a\cot(ax+b)+C } \]

本质就是你最近学习的：

\[\boxed{\text{链式法则的逆运算}=\text{换元积分}} \]

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十二、三角函数积分中非常常见的变形

这部分建议重点掌握。

1. 平方降幂

\[\boxed{\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}} \]

\[\boxed{\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}} \]

所以：

\[\int\sin^2x\,dx \]

可以变成：

\[\int\frac{1-\cos2x}{2}dx \]

最后：

\[\boxed{ \int\sin^2x\,dx = \frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C } \]

同理：

\[\boxed{ \int\cos^2x\,dx = \frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C } \]

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2. (\sin x\cos x)

利用：

\[\sin2x=2\sin x\cos x \]

所以：

\[\boxed{ \sin x\cos x=\frac12\sin2x } \]

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3. (\tan^2x)

由：

\[1+\tan^2x=\sec^2x \]

得到：

\[\boxed{\tan^2x=\sec^2x-1} \]

因此：

\[\int\tan^2x\,dx = \int(\sec^2x-1)dx \]

得到：

\[\boxed{\int\tan^2x\,dx=\tan x-x+C} \]

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4. (\cot^2x)

由：

\[1+\cot^2x=\csc^2x \]

得到：

\[\boxed{\cot^2x=\csc^2x-1} \]

所以：

\[\boxed{ \int\cot^2x\,dx = -\cot x-x+C } \]

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十三、两个非常重要的积分

下面两个经常出现在积分题中：

\[\boxed{ \int\tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C } \]

也可以写成：

\[\boxed{ \int\tan x\,dx = \ln|\sec x|+C } \]

因为：

\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \]

令：

\[u=\cos x \]

则：

\[du=-\sin xdx \]

自然就出现对数。

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另一个：

\[\boxed{ \int\cot x\,dx = \ln|\sin x|+C } \]

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十四、反三角函数的导数

这一组也非常重要：

\[\boxed{ \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac1{\sqrt{1-x^2}} } \]

\[\boxed{ \frac{d}{dx}\arccos x = -\frac1{\sqrt{1-x^2}} } \]

\[\boxed{ \frac{d}{dx}\arctan x = \frac1{1+x^2} } \]

\[\boxed{ \frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x = -\frac1{1+x^2} } \]

所以对应的积分：

\[\boxed{ \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x+C } \]

\[\boxed{ \int\frac{dx}{1+x^2} = \arctan x+C } \]

这两个尤其重要。

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十五、微积分阶段真正需要优先掌握的“20%”

如果你的目标不是三角学，而是为微积分、机器学习数学打基础，我建议按这个优先级记：

第一层——必须熟练

\[\boxed{\sin^2x+\cos^2x=1} \]

\[\boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}} \]

\[\boxed{\sec x=\frac1{\cos x}} \]

\[\boxed{\csc x=\frac1{\sin x}} \]

以及：

\[\boxed{ \begin{aligned} (\sin x)'&=\cos x\\ (\cos x)'&=-\sin x\\ (\tan x)'&=\sec^2x\\ (\cot x)'&=-\csc^2x \end{aligned}} \]

第二层——积分必须熟练

\[\boxed{ \begin{aligned} \int\cos xdx&=\sin x+C\\ \int\sin xdx&=-\cos x+C\\ \int\sec^2xdx&=\tan x+C\\ \int\csc^2xdx&=-\cot x+C \end{aligned}} \]

第三层——积分技巧

\[\boxed{\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}} \]

\[\boxed{\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}} \]

\[\boxed{\tan^2x=\sec^2x-1} \]

\[\boxed{\cot^2x=\csc^2x-1} \]

以及和差、倍角公式。

第四层——以后遇到再重点学

三角代换、万能代换、积化和差、和差化积、复杂的 (\sin^m x\cos^n x) 积分等。

对于你现在的学习路线，我建议下一步把这些公式进一步整理成一张“三角函数公式 → 微分 → 积分 → 链式法则 → 换元法”的因果关系图。这样会比单纯背公式更适合你现在正在建立的“微分与积分互为逆运算”的框架。