反函数的导数

用链式法则 + 反函数关系可得。

已知

\[y=f(x) \]

其反函数为

\[x=g(y) \]

也就是说：

\[g=f^{-1} \]

要证明：

\[\boxed{g'(y)=\frac1{f'(x)}} \]

其中要求

\[f'(x)\ne0 \]

第一步：利用反函数的关系

因为 (g) 是 (f) 的反函数，所以：

\[x=g(y) \]

而

\[y=f(x) \]

把 (y=f(x)) 代入 (x=g(y))：

\[x=g(f(x)) \]

这句话非常重要：

\[\boxed{g(f(x))=x} \]

意思就是：先经过 (f)，再经过 (g)，最终又回到了原来的 (x)。

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第二步：两边对 (x) 求导

左边是一个复合函数：

\[[g(f(x))]' \]

使用链式法则：

\[g'(f(x))\cdot f'(x) \]

右边：

\[[x]'=1 \]

因此：

\[g'(f(x))f'(x)=1 \]

由于题目给出：

\[f'(x)\ne0 \]

所以可以除以 (f'(x))：

\[g'(f(x)) = \frac1{f'(x)} \]

而因为

\[y=f(x) \]

所以：

\[\boxed{ g'(y)=\frac1{f'(x)} } \]

证毕。

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其实可以把这个证明理解成“变化率互为倒数”

这比公式本身更加重要。

假设：

\[y=f(x) \]

如果 (x) 发生一个很小的变化 (dx)，那么 (y) 的变化大约是：

\[dy=f'(x)dx \]

所以：

\[\frac{dy}{dx}=f'(x) \]

现在反过来，既然

\[x=g(y) \]

那么：

\[dx=g'(y)dy \]

所以：

\[\frac{dx}{dy}=g'(y) \]

而对于同一个微小变化过程：

\[\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dx}=1 \]

因此：

\[\boxed{ g'(y)=\frac{dx}{dy} = \frac1{dy/dx} = \frac1{f'(x)} } \]

这其实就是“反函数把变化关系倒过来”。

例如：

\[y=2x \]

那么：

\[\frac{dy}{dx}=2 \]

反函数：

\[x=\frac y2 \]

所以：

\[\frac{dx}{dy}=\frac12 \]

正好：

\[\frac12=\frac1{2} \]

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而你前面刚刚理解的链式法则，在这里发挥了非常关键的作用：

\[\boxed{ g(f(x))=x } \]

意味着整个“来回走一圈”的变化率必须是：

\[\boxed{g'(f(x))\times f'(x)=1} \]

所以反函数的导数为什么是倒数，并不是一个孤立需要记忆的公式，而是：

正向变化率 × 反向变化率 = 1。