乘积求导

乘积求导的本质的原因是：一个整体的微小变化，可以由多个彼此独立的变化来源叠加起来。

先看：

\[[\,u(x)v(x)\,]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \]

可以把 (u(x)v(x)) 想象成一个矩形的面积：

\[S=u\times v \]

当 (x) 发生一个很小的变化 (\Delta x) 时，(u,v) 都可能发生变化：

\[u\rightarrow u+\Delta u \]

\[v\rightarrow v+\Delta v \]

于是新面积：

\[(u+\Delta u)(v+\Delta v) \]

展开：

\[uv+v\Delta u+u\Delta v+\Delta u\Delta v \]

所以面积的变化量：

\[\Delta S = v\Delta u+u\Delta v+\Delta u\Delta v \]

这里就出现了非常重要的结构：

总变化 = 由 (u) 变化造成的变化 + 由 (v) 变化造成的变化 + 两者同时变化产生的极小交叉项。

当 (\Delta x\to0) 时，

\[\Delta u\Delta v \]

是二阶小量，可以忽略，于是：

\[d(uv)=v\,du+u\,dv \]

两边除以 (dx)：

\[\frac{d(uv)}{dx} = v\frac{du}{dx} + u\frac{dv}{dx} \]

也就是：

\[\boxed{(uv)'=u'v+uv'} \]

它更准确地属于：

\[\boxed{\text{总变化}=\text{各个一阶变化贡献之和}} \]

这其实就是微积分里非常重要的思想：

把复杂变化拆成多个简单变化来源，然后把这些变化贡献加起来。

这也是为什么到了多元函数，你会看到：

\[d f = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+\cdots+ \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n \]

它和你最近理解的方向导数、梯度其实是一脉相承的：

\[\boxed{\text{总的微小变化}=\text{各个方向上的微小变化贡献之和}} \]

而这正是理解梯度为什么是“所有方向变化的账本”的一个非常好的入口。