深度神经网络的线性变换和激活函数

线性+激活单元（linear + activation units）组成的网络如何工作

它们在训练过程中对不同输入的反应和学习过程的特性。

1. 不同单元对不同输入的响应：

   • 解释：在由线性变换和激活函数单元组成的网络中，不同的单元会对相同的输入在不同的范围内做出响应。这意味着某些单元在某些输入值范围内是敏感的，而在其他范围内则不敏感。
   • 例子：例如，ReLU激活函数的某些单元可能只在输入为正值时激活，而在输入为负值时不激活。

2. 误差影响敏感范围内的神经元：

   • 解释：对于给定的输入，产生的误差主要影响在敏感范围内工作的神经元，而那些在不敏感范围内工作的单元则几乎不受影响。这是因为只有在敏感范围内，激活函数对输入变化有显著反应，从而影响梯度计算和权重更新。
   • 例子：在sigmoid激活函数的情况下，输入接近0时的神经元会对误差做出反应，而输入远离0（饱和区）的神经元则反应较少。

3. 梯度接近1的敏感范围：

   • 解释：在敏感范围内，激活函数对输入的导数通常接近1，这使得在该范围内通过梯度下降法估计线性变换的参数与线性回归的过程非常相似。
   • 例子：对于ReLU函数，导数在正值输入时为1，因此在这一范围内的学习过程类似于线性回归。

4. 网络的复杂函数逼近能力：

   • 解释：通过将许多线性+激活单元并行连接并逐层堆叠起来，网络能够逼近复杂的函数。不同单元的组合会对不同的输入范围做出响应，且在这些范围内参数的优化相对容易，因为学习过程类似于线性函数的拟合，直到输出达到饱和状态。
   • 例子：例如，一个深度神经网络可以通过多个层的组合，实现从简单线性变换到复杂非线性变换的映射，从而逼近复杂的函数。

总结

线性变换和激活函数结合的强大机制，这种组合能够有效地逼近复杂函数。

1. 不同单元对不同输入范围有不同的响应。
2. 误差主要影响在敏感范围内工作的单元。
3. 在敏感范围内，梯度下降法优化参数的过程类似于线性回归。
4. 多层次的线性+激活单元组合可以逼近复杂的函数。

不同单元对不同输入的响应的理解

在由线性变换和激活函数单元组成的网络中，不同的单元会对相同的输入在不同的范围内做出响应。
这句话并不是说网络中有多个不同的激活函数，而是指在同一个激活函数的情况下，网络中的不同单元（即神经元）对相同的输入会在不同的范围内做出响应。这是由于以下几个原因：

1. 输入权重和偏置的不同：

   • 每个神经元都有其独特的权重和偏置，这使得即使是相同的输入，在经过不同的神经元时，其结果会不同。
   • 例如，假设我们使用ReLU激活函数，不同的神经元可能对输入值的响应范围不同，因为它们的线性变换部分（即( w \cdot x + b )）不同。

2. 激活函数的特性：

   • 激活函数在其定义域上具有不同的敏感和不敏感范围。即使使用相同的激活函数，由于输入的线性变换部分不同，某些神经元会处于激活函数的敏感范围内，而其他神经元可能处于不敏感范围内。
   • 例如，ReLU函数在输入为正时会激活，而在输入为负时输出为零。由于不同神经元的权重和偏置不同，相同的输入会使得某些神经元的线性变换结果为正，而其他神经元可能为负。

因此，这句话强调的是：

• 在同一个网络中，虽然所有神经元可能使用相同的激活函数，但由于每个神经元的线性变换部分（权重和偏置）不同，同一个输入会在不同神经元中激活不同的范围。
• 这种多样性使得神经网络能够对输入数据进行更复杂和精细的处理，从而增强网络的表达能力和逼近复杂函数的能力。

例子

假设我们有一个简单的神经网络层，包含两个神经元，使用ReLU激活函数：

• 第一个神经元的权重和偏置为 ( w_1 ) 和 ( b_1 )。
• 第二个神经元的权重和偏置为 ( w_2 ) 和 ( b_2 )。

对于相同的输入 ( x )，每个神经元的输出分别为：
[ \text{ReLU}(w_1 \cdot x + b_1) ]
[ \text{ReLU}(w_2 \cdot x + b_2) ]

由于 ( w_1 ) 和 ( w_2 ) 以及 ( b_1 ) 和 ( b_2 ) 可能不同，两个神经元的线性变换部分 ( w \cdot x + b ) 也会不同，这就导致即使输入 ( x ) 相同，经过ReLU激活函数后，两个神经元的输出可能在不同的范围内变化。这种现象使得网络能够在处理相同输入时，利用不同神经元的响应来捕捉更丰富的信息。