[数据结构]后缀自动机
前言
对于字符串 \(s\) ，\(|s|\) 表示s的长度
对于字符集 \(A\) , \(|A|\) 表示 \(A\) 的大小
本文字符串下标一律从0开始。
本文字数较多，如有错别字或者概念性错误，请联系博主或在下方回复。
SAM
后缀自动机 (suffix automaton, SAM) 是一种解决多种字符串问题的数据结构。
SAM基于一个字符串构建的，是给定字符串的所有子串的压缩形式。
标准定义为: 字符串 \(s\) 的SAM是一个接受 \(s\) 的所有后缀的最小 \(\texttt{DFA}\) (确定性有限自动机或确定性有限状态自动机)
我们记 \(t_0\) 为字符串的一个虚拟源点，事实上这种操作(构造虚拟节点)应用非常广泛。
那么SAM应当是:
- 有向无环图，节点为状态，边叫做转移
- 所有节点都可以由 \(t_0\) 到达
- 每个转移代表一个字母，且任意一个状态的出边的字母不同
- 存在一个或多个终止状态，使得从 $t_0 $ 到终止状态上的所有转移依访问顺序排列，对应原字符串 \(s\) 的某个后缀，且 \(s\) 的任何后缀均可以上述方式描述。
- SAM是满足以上的条件节点数最小的自动机
简单来说，没有后缀链接的SAM是一棵以 \(t_0\) 为源点的无向图。这个图的名字叫做后缀链接树。
没有后缀链接的SAM的样子
目前您暂且不需要知道后缀链接是什么。
- 空串
- 字符串 s = "a"
- 字符串 s = "abbb"
\(\tiny\texttt{借用一下oi-wiki中的图片}\)
字串的性质
SAM上的任意路径与字符串 \(s\) 字串相互映射(可以互相表示)
注意上面这点非常重要。
结束位置
结束位置，通常记作endpos，就是子串在原串中的某一个匹配的最后一个字符在原串中的下标。
我们注意到一个子串的endpos并不唯一，所以结束位置应该时一个集合。
结束位置集合，通常记作endpos集合，表示一个子串在字符串中的所有结束位置。
举个例子，字符串 "abbbabbb" 的子串 "ab" 的endpos集合为{1,5}，
后缀链接
长话短说，后缀链接连接了两个不同的endpos集合，
也就意味着从当前状态最长后缀的endpos集合，跳转到另外的endpos。
就是连接当前子串最长的"与当前子串 endpos 的不同的后缀"与该子串所属状态的边。
后缀链接树
SAM中所有后缀链接构成的树叫做后缀链接树。
后缀链接树非常重要，因为我们后续的针对题目的大部分操作都是在后缀链接树上进行的。
构造SAM
- 读入需要的字符 c
- 创建一个新的状态 \(cur\) ，并把它的 \(len\) 置为上一个状态+1
- 从上一个状态延链接向前跳跃，更新沿途的 \(next\) ，直到跳跃到空或者发现了一个状态 \(p\) ，\(p\) 已经存在到字符 c 的转移
- 将 \(p\) 通过字符 c 转移到状态即为 \(q\)
- 如果\(len_p + 1 = len_q\)，很简单，将 \(cur\) 的后缀链接连到 \(q\) 并结束算法。
- 否则，"复制(copy)" \(q\) 至一个新的克隆节点记为 \(clone\) ，将 \(clone\) 的 \(len\) 重新设为 \(len_p+1\) ，然后将 \(cur\) 和 \(q\) 的后缀链接指向 \(clone\) 。最终我们需要使用后缀链接从状态 \(p\) 往回走，只要存在一条通过 \(p\) 到状态 \(q\) 的转移，就将该转移重定向到状态 \(clone\)
代码
原题参照洛谷[模板]后缀自动机。
map版( \(O_2\) )
时空需求都较高，但是稳定，可以处理任意字符。
对 \(O_2\) 需求很高。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
using namespace std;
const int MAXN = 3000005;
int sz[3000005];
struct SAM{
int size, last;
struct Node{
int len, link;
map<char, int> next;
} nodes[MAXN];
void init(){
nodes[0].len = 0, nodes[0].link = -1;
size = 1; last = 0;
}
void insert(char ch){
int cur = size++, p; nodes[cur].len = nodes[last].len + 1; sz[cur] = 1;
for (p = last; ~p && !nodes[p].next.count(ch); p = nodes[p].link)
nodes[p].next[ch] = cur;
if (p == -1)
nodes[cur].link = 0;
else{
int q = nodes[p].next[ch];
if (nodes[p].len + 1 == nodes[q].len)
nodes[cur].link = q;
else{
int clone = size++;
nodes[clone].len = nodes[p].len + 1;
nodes[clone].next = nodes[q].next;
nodes[clone].link = nodes[q].link;
for ( ; ~p && nodes[p].next[ch] == q; p = nodes[p].link)
nodes[p].next[ch] = clone;
nodes[q].link = nodes[cur].link = clone;
}
}
last = cur;
}
void build(char *buf, int len = 0){
if (!len) len = strlen(buf);
for (int i = 0; i < len; ++i)
insert(buf[i]);
}
} sam;
struct Edge{
int to, next;
} edges[6000005];
int head[3000005], edge_num;
inline void addEdge(int u, int v){
edges[++edge_num] = (Edge){v, head[u]};
head[u] = edge_num;
}
inline void buildParentTree(){
for (int i = 1; i < sam.size; ++i)
addEdge(sam.nodes[i].link, i);
}
long long ans = 0;
void DFS(int u){
for (int c_e = head[u]; c_e; c_e = edges[c_e].next){
int v = edges[c_e].to;
DFS(v); sz[u] += sz[v];
}
if (sz[u] > 1)
ans = max(ans, 1ll * sz[u] * sam.nodes[u].len);
}
char ch[1000005];
int main(){
sam.init(); scanf("%s", ch);
sam.build(ch); buildParentTree();
string s = ch;
DFS(0);
printf("%lld", ans);
return 0;
}
数组版
时空需求较低，但是只能处理字母类问题。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
const int MAXN = 3000005;
int sz[3000005];
struct SAM{
int size, last;
struct Node{
int len, link;
int next[26];
} nodes[MAXN];
void init(){
nodes[1].len = 0, nodes[1].link = 0;
size = 2; last = 1;
}
void insert(char ch){
int cur = size++, p; nodes[cur].len = nodes[last].len + 1; sz[cur] = 1;
for (p = last; p && !nodes[p].next[ch - 'a']; p = nodes[p].link)
nodes[p].next[ch - 'a'] = cur;
if (!p)
nodes[cur].link = 1;
else{
int q = nodes[p].next[ch - 'a'];
if (nodes[p].len + 1 == nodes[q].len)
nodes[cur].link = q;
else{
int clone = size++;
nodes[clone].len = nodes[p].len + 1;
memcpy(nodes[clone].next, nodes[q].next, sizeof(nodes[q].next));
nodes[clone].link = nodes[q].link;
for ( ; p && nodes[p].next[ch - 'a'] == q; p = nodes[p].link)
nodes[p].next[ch - 'a'] = clone;
nodes[q].link = nodes[cur].link = clone;
}
}
last = cur;
}
void build(char *buf, int len = 0){
if (!len) len = strlen(buf);
for (int i = 0; i < len; ++i)
insert(buf[i]);
}
} sam;
struct Edge{
int to, next;
} edges[6000005];
int head[3000005], edge_num;
inline void addEdge(int u, int v){
edges[++edge_num] = (Edge){v, head[u]};
head[u] = edge_num;
}
inline void buildParentTree(){
for (int i = 2; i < sam.size; ++i)
addEdge(sam.nodes[i].link, i);
}
long long ans = 0;
void DFS(int u){
for (int c_e = head[u]; c_e; c_e = edges[c_e].next){
int v = edges[c_e].to;
DFS(v); sz[u] += sz[v];
}
if (sz[u] > 1)
ans = max(ans, 1ll * sz[u] * sam.nodes[u].len);
}
char ch[1000005];
int main(){
sam.init(); scanf("%s", ch);
sam.build(ch); buildParentTree();
string s = ch;
DFS(1);
printf("%lld", ans);
return 0;
}
