错排简介

概念

将 \(n\) 个元素重新排列，使得每个人都不在自己原来的位置上的的排列数记为 \(D_n\)。

递推式

\(D_n\) 的递推式为：

\[D_n = (n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}),\ \ \ \ \ n \ge 2 \]

初始值为：

\[D_0 = 1,D_1 = 0 \]

简单理解：

• 第 \(n\) 个元素不能放在第 \(n\) 位，所以它有 \(n-1\) 个位置可选。
• 假设它放到了第 \(k\) 位，分类讨论：
  • 第 \(k\) 个元素放在第 \(n\) 位：剩下的 \(n-2\) 个元素错排，有 \(D_{n-2}\) 种方案。
  • 第 \(k\) 个元素不放在第 \(n\) 位：相当于剩下 \(n-1\) 个元素错排，有 \(D_{n-1}\) 中方案。
• 因此总方案为 \((n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\)。

通项公式

用容斥原理可得：

\[D_n = \sum_{k = 0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)! \]

如何得出这个公式？

定义 \(\complement A_i\) 表示 \(i\) 在原位置的“坏性质”，那么根据容斥原理基本公式，可得：

\[D_n = \sum_{k = 0}^n (-1)^k \sum_{1 \le s_1<s_2<\dots<s_k \le n} \left|\bigcap_{j = 1}^k \complement A_{s_j}\right| \]

其中 \(\complement\) 表示补集。

显然，根据错排定义，我们有：

\[\begin{align*} \forall 1 \le i \le n,|\complement A_i| &= (n-1)! \\ &\Downarrow \\ \forall \{s_1,s_2,\dots,s_k\} \subseteq \{1,2,\dots,n\},\left|\bigcap_{j = 1}^k \complement A_{s_j}\right| &= (n-k)! \end{align*} \]

而包含于 \(\{1,2,\dots,n\}\) 的长度为 \(k\) 的集合有 \(\binom{n}{k}\) 个，所以：

\[D_n = \sum_{k = 0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)! \]

至此，得出。