等比数列求和公式推导

声明：这里公比不能等于 \(1\)，如果公比等于 \(1\) 的话，求和公式就是 \(lx\)。

首先开门见山，等比数列求和公式为 \(x\frac{\frac{y}{x} \times q-1}{q-1}\)（\(x\) 是首项，\(y\) 是尾项，\(q\) 是公比），当然也可以写成 \(x \frac{q^{l}-1}{q-1}\)（\(l\) 是数列项数），至于这个公式是怎么推导的，其实也不难，首先我们发现等比数列求和公式是不是可以写成：

\[x\sum_{i = 0}^{l-1} q^i \]

\(x\) 是可以快速知道的，所以我们只需要通过一种方法快速求出：

\[\sum_{i = 0}^{l-1} q^i \]

首先如果 \(q = 2\)，你是不是会立刻想到一个东西？没错！就是二叉树，所以如果 \(q = 2\)，我们就是求一个有 \(l\) 层的二叉树有多少个结点，首先二叉树有一个性质：在一个满二叉树中，非叶子数量等于叶子数量减 \(1\)，所以你就会发现当 \(q = 2\) 时：

\[\sum_{i = 0}^{l-1} q^i = q^{l}-1 \]

如果 \(q \not= 2\) 呢？
也差不多，其实他它就是构成了一棵 \(l\) 层的 \(q\) 叉树，你会发现其实这个时候，设叶子结点个数为 \(a\)，非叶子节点数量为 \(b\)，那么 \(a = (q-1)b+1\)，怎么证明，采用数学归纳法，如果我们在第一层那么不管 \(q\) 是多少都满足情况，因为 \(q = (q-1) \times 1+1\)，接着开始归纳，假设我们当前在第 \(l\) 层，我们要证明 \(\frac{q^{l}-1}{q-1}+q^{l} = \frac{q^{l+1}-1}{q-1}\)，开始推导：

\[\frac{q^{l}-1}{q-1}+q^{l} = \frac{q^{l+1}-1}{q-1} \]

\[\frac{q^{l}-1}{q-1}+\frac{q^{l}(q-1)}{q-1} = \frac{q^{l+1}-1}{q-1} \]

\[\frac{q^{l}-1+q^{l}(q-1)}{q-1} = \frac{q^{l+1}-1}{q-1} \]

\[\frac{q^{l}+q^{l}(q-1)-1}{q-1} = \frac{q^{l+1}-1}{q-1} \]

\[\frac{q^{l}(1+q-1)-1}{q-1} = \frac{q^{l+1}-1}{q-1} \]

\[\frac{q^{l}q-1}{q-1} = \frac{q^{l+1}-1}{q-1} \]

\[\frac{q^{l+1}-1}{q-1} = \frac{q^{l+1}-1}{q-1} \]

得证。
所以：

\[\sum_{i = 0}^{l-1} q^i = \frac{q^{l}-1}{q-1} \]

所以等差数列求和公式为：

\[x \frac{q^{l}-1}{q-1} \]

当然也可以写成：

\[x\frac{\frac{y}{x} \times q-1}{q-1} \]

都是一样的。
附录：
高中课本的教材写的是 \(\frac{x(1-q^l)}{1-q}\)，经过推导：

\[\frac{x(1-q^l)}{1-q} \]

\[=x\frac{(1-q^l)}{1-q} \]

\[=x\frac{(q^l-1)}{q-1} \]

你会发现这个和我推的一模一样。