CF1386C Joker

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这是一道有(du)趣(liu)的数据结构题

首先发现无修改询问，所以珂以莫队。然后发现你要维护当前的图是否为二分图，这显然珂以大力LCT维护最大生成树。然后复杂度就变成了惊人的\(O(N\sqrt N\log N)\)，附加大常数惊喜。显然，不加任何卡常技巧，这是过不去的；用了许多卡常技巧，这也是过不去的。

我们必须考虑换个路子。观察一下Subtask\(3\)，珂以发现当询问中的\(l\)为常数时，有一个临界值\(r\)，使得：\(\forall k\in [l,r)\)，询问\((l,k)\)对应的图不是二分图；\(\forall k\in [r,m]\)，询问\((l,k)\)对应的图是二分图。所以这个Subtask便珂以预处理出这个临界值，这显然珂以用LCT在\(O(N\log N)\)内实现。

我们把上述对于\(l\)的临界值定义为\(A_l\)。进一步思考，我们会发现：\(\forall l_1\le l_2\)，不等式\(A_{l_1}\le A_{l_2}\)恒成立，即数组\(A\)是单调不减的。又由于LCT支持加边和删边，于是，我们珂以双指针来预处理出数组\(A\)。这样复杂度依旧是优秀的\(O(N\log N)\)，珂以通过所有Subtask。

Q: 窝不会LCT肿么办？

A: 那就用那个不用LCT的做法呗。

不用LCT是什么做法？我们珂以发现，LCT在上述算法中，只是来维护最大生成树，判断二分图的。那为什么上述算法中LCT是必要的呢？因为在双指针的过程中，我们要在加边和删边的操作之余判断二分图，当加边和删边无任何顺序时，LCT是必要的。

那么不用LCT的做法，就是要让加边和删边的操作有顺序，即每一次加边时把这个边放入一个栈里，删边时就弹栈。这时删边操作就变成了回滚操作。于是我们珂以用常数较小的可撤销并查集来代替常数巨大的LCT。

然而，双指针并不能用一个栈来维护。于是我们珂以考虑分治：定义分治函数\(S\)维护四个值\(l,r,L,R\)，其中前提条件满足\(\forall i\in[l,r],A_i\in[L,R]\)，且在调用\(S(l,r,L,R)\)时，可撤销并查集内已有\([1,l-1]\cup [r+1,m]\)内的所有边。设\(M=(l+r)/2\)，则珂以先在\(O(n)\)内算出\(A_M\)。这时\(\forall i\in[l,M-1],A_i\le A_M\)，且\(\forall i\in [M+1,r],A_i\ge A_M\)。所以珂以在\(S(l,r,L,R)\)中调用\(S(l,M-1,L,A_M)\)和\(S(M+1,r,A_M,R)\)。注意要在调用之前往可撤销并查集内插入相应的边，然后在调用结束后回滚掉。又因为\(S\)调用中区间的总长度为\(O(N)\)级别，再加上可撤销并查集的\(O(\log N)\)，所以时间复杂度为\(O(N\log^2 N)\)。因为常数较小，所以跑得和LCT的\(O(N\log N)\)差不多快。

代码？不存在的。