qwq(一些有趣的数学题) - 佛系更新中
这里面珂能会放一下自己觉得有趣(或思维较难)的一些数学题吧(不会太毒瘤)
(窝会在评论里放答案)
PS: 此内所有的几何题均有纯几何方法。
- 已知\(f(x)+f'(x)=\sin x\cos x\)，求\(f(x)\)
提示：构造函数\(h(x)=e^xf(x)\)
- 拓展：已知\(f(x)-f''(x)=\sin x\cos x\)，求\(f(x)\)
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已知实数\(a>1\)，数列\(\{b_n\}\)满足\(b_0=a,b_{n}=a^{b_{n-1}}\)。若数列\(\{b_n\}\)收敛，求\(a\)的取值范围
提示：收敛\(\Leftrightarrow\)存在\(u\in R^+\)使得\(a^u=u\) -
对于所有勾股数组\((a,b,c)\)，不妨设\(a\le b\le c\)，求\(\max\{\dfrac{a}{b}\}\)
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一个人站在一个圆形小岛的中心，小岛外边全是水。小岛和水的边缘有一只鳄鱼。已知鳄鱼的速度是人的\(4\)倍。鳄鱼只能在水上走。鳄鱼每次都是往离人最近点走的。如果人到了小岛边缘，且那个点没有鳄鱼，她就会获救。请问她能否获救？策略是什么？
- 拓展：求在获救条件下，她最少走的距离是多少(假设小岛的半径是\(1\)km)
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已知圆\(O\)的半径为\(2\)，定点\(A,B\)在圆\(O\)外，且\(|OA|=4,|OB|=4\sqrt 2,\angle AOB=45^\circ\)。点\(P\)在圆\(O\)的圆周上运动，求\(\min\{2\sqrt 2PA+PB\}\)(不能用任何计算器或画图软件)。
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已知圆\(O\)内接四边形\(ABCD\)，且\(AB=AD\)。连接\(AC,BD\)。作\(CD\)边的中点\(M\)，过点\(M\)作\(MN\parallel AC\)交\(BD\)于\(N\)，连接\(AM,AN\)。求证：\(\angle CAN=\angle MAD\)。
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等腰\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC,\angle BAC=20^\circ\)。在\(AB,AC\)上取点\(D,E\)，使得\(\angle BCD=50^\circ,\angle CBE=60^\circ\)，连接\(DE\)。求\(\angle ADE\)。 (不准用三角函数)
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用数学方法证明这题的答案的小数位为
.0或.5。 -
\(\triangle ABC\)中，\(\angle ABC=30^\circ, \angle ACB=20^\circ\)，在\(\triangle ABC\)中存在点\(P\)，使得\(\angle PBC=20^\circ, \angle PCB=10^\circ\)，求\(\angle PAB\)。
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锐角\(\triangle ABC\)中，点\(D\)在\(BC\)上，满足\(AC=AD\)，点\(E\)在\(AC\)上，满足\(BA=BE\)，且满足\(AE=ED,ED\parallel AB\)。求\(\angle C\)。
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已知正数a,b,c满足\(a^2+b^2+c^2=3\)，求\(\dfrac 1{a^3}+\dfrac 1{b^3}+\dfrac 1{c^3}+\dfrac 1{b^3+c^3}+\dfrac 1{a^3+c^3}+\dfrac 1{a^3+b^3}\)的最小值。
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已知正整数a,b,c，满足\(8^a+15^b=17^c\)，求\((a,b,c)\)所有正整数解。
2021.08.14 突然发现这个号被解封了(之前我也不知道为什么被封了/kel)
2021.08.18 突然想起了这个坑，正好最近又有了个idea，就更一下吧
- \(\triangle ABC\) 的内心为 \(I\)。直线 \(AI\) 交 \(BC\) 于点 \(D\)，并且与 \(BC\) 的中垂线交于 \(M\)。
设 \(BC\) 边上的旁切圆与 \(BC\) 切于点 \(E\)，点 \(A\) 关于过点 \(E\) 且垂直于 \(BC\) 的直线的对称点为点 \(S\)。设 \(\triangle ATB\) 与 \(\triangle ACS\) 顺相似，直线 \(MT\) 与 \(BC\) 交于 \(K\)。求证：\(KI=KD\)。
