2026求真书院pi节挑战赛T2

xbw 说 10min 秒了，但是我们班去考这个挑战赛的好像 0 人做出来。怎么会是呢（难绷）？

求解

\[\sum\limits_{\substack{k\ge 1 \\ \lambda_1\ge \lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_k > 0 \\ \lambda_1+\cdots+\lambda_k=n}}\prod\limits_{i=1}^{k-1}\binom{\lambda_i}{\lambda_{i+1}}. \\ \]

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答案是 \(2^{n-1}\)。

考虑杨表状物，一行有 \(\lambda_i\) 个元素。编组合意义，这里杨表不要求每一行构成前缀，但要求每个位置正上方必须有格子。大概就长下面这样

显然每一列构成一个前缀，一共 \(n\) 个数，那就直接插板双射了。\(\square\)