ARC199C 题解

xuanxuan001 大神的题解写得不是很清晰，所以这里是一篇人话题解。

先手玩一下。随便写一个排列与一棵合法树：

很容易猜到，树是合法的，当且仅当：它的任意子树对应排列的标号是连续的。证明比较显然，必要性由题意易知，充分性只需要从下往上递归构造树即可。\(\square\)

这个说法并不严谨，因为这是一个环，可能出现连续段跨越环的情况。直接断环成链比较麻烦，但是发现对 \(P\) 进行一些整体加减对答案并没有影响，且排列相互之间没影响，所以可以调整 \(P_{i,1}=1\)，并钦定 \(1\) 为根。

那么可以直接预处理出，每个区间 \([l,r]\) 是否可能构成子树，即是否在 \(m\) 个排列中的标号都连续。（为了方便，注意到对所有排列整体做置换也不影响答案，所以可以调整出 \(P_{1,i}=i\)，这样标号就是连续的了）

然后直接区间 DP 就行。具体设 \(f_{l,r}\) 表示标号 \([l,r]\) 中的数构成的树个数，设其中根为 \(rt\)，其有若干个儿子 \(v_1,v_2,\cdots,v_k\)，就能把区间拆成 \([l,v_1)[v_1,v_2)\cdots[v_t,rt),\{rt\},(rt,v_{t+1})[v_{t+1},v_{t+2})\cdots[v_k,r]\)。于是增设 \(g_{l,r}\) 表示去除根后构成的树的个数，那么 \(f_{l,r}=g_{l,rt-1}g_{rt+1,r}\)；\(g\) 再不断由 \(g,f\) 合并即可。简单来说就是模拟上面的区间拆分。

code，时间复杂度 \(O(n^2(n+m))\)。

回顾整道题，确实没啥难度，每一步都有很强的引导性，包没有 AT *3000 的......