二分图最大匹配必经点 / 边

二分图最大匹配必经点

下文只判定右部的必经点；显然左部是同理的。

先按照 flow 求二分图最大匹配建出网络流：\((S,i\in L,1),(u\in L,v\in R,1),(v\in R,T,1)\)。

Theory：只需要从 \(T\) 出发，不断走满流边（可能是反向边满流）。最后没有被走到的所有点就是必经点。

先感性理解一下，过程本质会搜出来增广路状物，上面的边流与不流间隔出现，显然都能调整。

Prove：我们分两部分证明：[1]被走到的点不是必经点；[2]没被走到的点都是必经点。

[1]证明：观察流出的路径：第一步一定是走 \(T\to v\)，残余网络满流，即原图没有选 \(v\)；第二步不能返回 \(T\)，一定是走 \(v\to u\)，残余网络满流，即原图没有选 \((u,v)\)；第三步肯定走不回 \(S\)，所以会走 \(u\to v_1\)，此时原图选择了 \((u,v_1)\)；依此类推直到没法选了。

观察图片，不难发现所有选出的右部点都是存在调整方案的。

[2]证明：考虑反证，假设存在一个没被走到的点 \(u\in R\)，它不是必经点。

\(\because\) 它没有被走到
\(\therefore\) 原图必有 \(u\to T\) 的边，并且流了；
\(\therefore\) 原图必有 \(x\in L,x\to u\) 的边，并且流了.
\(\because\) \(u\) 不是必经点
\(\therefore\) 存在一个 \(v\) 调整 \(x\)，即原图必有 \(v\in R,x\to v\) 的边，但是没有流.
若 \(v\to T\) 没有流，手玩一下，此时 \(u\) 可以被反向 visit 到，矛盾；
\(\therefore\) \(v\to T\) 必流；
\(\therefore\) 存在 \(y\to v\) 的边，并且流了.
......继续往下推

依此类推，发现按照这个调整流程，最后将会创建无穷个点（可以自己再手玩几步），与二分图有有限个点矛盾。

所以 [2] 证毕。与 [1] 结合即证命题。\(\square\)

\(\text{ }\)

二分图最大匹配必经边

判定条件：\(u\to v\) 流了，并且残余网络上不属于相同的连通分量。

这个就显然很多了。我懒得写证明了。