第二类斯特林数小记

随便记点。

定义

第二类 Stirling Number。

latex：$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}$ 或 n\brace m，大小渲染可能有差别。

我们定义 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\) 表示将 \(n\) 个不同的球放进 \(m\) 个相同非空盒子的方案数。

求法

考虑类似 DP 地求出 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\)。

\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m\cdot\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix} \]

即，分类第 \(n\) 个球单独放新盒子 / 放一个之前有的盒子。

边界条件 \(\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}=[n=0]\)。这很类似组合数，不是么？

有通项。还没看。

第二类斯特林数优化 K 次方幂和问题

给出关键公式

\[n^k=\sum\limits_{i=0}^k{k\brace i}\binom nii!=\sum_{i=0}^{n}\left\{\begin{array}{c}n \\i\end{array}\right\} \cdot n^{\underline{i}} \]

利用组合意义简单证明：

• LHS：将 \(k\) 个球放入 \(n\) 个不同可空盒子的方案数。
• RHS：先钦定有值的 \(i\) 个盒子，再有值地往里面放 \(k\) 个球。

显然两者相同。

关于为啥记这个东西：24.12.9 模拟赛 T1。其实有纯容斥做法的（orz yinhee），不过看到题解是斯特林数就顺便看了看（

另一个题：CF1097G。