P10398 题解

blog。博弈论。

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考虑使用 AGC002E 的方法分析：将 \(a_i\) 升序排列，然后画成下图状物。

一次操作相当于消掉最下面的一行 / 最左边的一列，消完的人胜利。

将这个问题转换为：你在左下角，每次可以往上面（上面是空的就走到右上）/ 右边走一步，谁先走到最后一列就赢了。

于是可以写出 \(O(\sum a_i)\) 的弱智 DP，答案即 \(dp_{1,1}\)。获得 \(23\) 分的高分。

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下文令 \((a,b)\) 表示到达第 \(a\) 堆石子第 \(b\) 行的位置。

打表有一些观察：\((a,\text{#})\) 处，除去最顶上的位置，其余位置胜负态交替。出现这个的原因是「上面是空的就走到右上」，所以可能需要特判边界。

正解就是模拟这个 DP。考虑 \((2,1)\)，由于 \(a_i\) 互不相同，故 \(a_2\ge2\)，\((2,1)\) 不会受到边界情况牵制。于是 \((2,1)\) 为胜利当且仅当 \(n=1\) 或 \(a_{n-1}\equiv n\pmod 2\)。

若 \((2,1)\) 输了，此时：

• 若 \(a_1\ge2\)，此时考虑 \((1,2)\) 位。注意到此时 \(a_2\ge3\)，结合 \((2,1)\) 输了，则 \((1,2)\) 必胜，进而 \((1,1)\) 位的两个决策都会使对手进入必胜态，于是此时直接输出 Bob。
• 否则 \(a_1=1\)，此时考虑 \((2,2)\) 位：也就是把下面一行删掉，进而成为了一个大小为 \((n-1)\) 的子问题，这个子问题的答案与原问题的答案相反。

想清楚后，这个「分治」的过程也可以用循环简单 \(O(n)\) 实现。