斜优小记

一个启发是，对于一个 \(i\) 的两个转移 \(j,k\)，比较 \(j\) 与 \(k\) 的转移优劣。

可以用斜率优化的场景：对比后可以分拆出 \(slope(j,k)\le\texttt{只和i相关的一些东西}\) 的形式。

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例如 P3195，首先写出转移方程

\(dp_i=\min\limits_{0\le j<i}\{dp_j+(s_i-s_j+i-j-1-L)^2\}\)

比较两个 \(j,k\)，选 \(j\) 不选 \(k\) 当且仅当

\[dp_j+((s_i+i-L-1)-(j+s_j))^2<dp_k+((s_i+i-L-1)-(k+s_k))^2 \]

记 \(T=s_i+i-L-1\)，于是

\[dp_j+(T-(j+s_j))^2<dp_k+(T-(k+s_k))^2 \]

化简得

\[\dfrac{(dp_j+(j+s_j)^2)-(dp_k+(k+s_k)^2)}{(j+s_j)-(k+s_k)}<2T \]

令 \(X(i)=i+s_i, Y(i)=dp_i+(i+s_i)^2\)，条件等价于

\[\dfrac{Y(i)-Y_j}{X(i)-X(j)}=\operatorname{slope}(j,k)<2T \]

注意到 \(X(i)\) 单调，单调队列维护单调 slope 值，存储所有 \(<2T\) 的位置，每次队头即为最优转移点。

本质就是题解所说的，维护下凸壳，我比较懒不画图了。

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另一个题是 P5785，用相同方法可以化简到

\(X(i)=i+sumf_i, Y(i)=dp_i-sumf_i\cdot s\)

注意到 \(Y(i)\) 并非单调，所幸斜率依然递增。所以需要维护整个下凸壳，然后二分找到 \(k_0<k<k_1\)，也就是第一个小于 \(k\) 的位置。

其他都没啥了。记个思想就行，其他操作都是模板。

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upd 2025/01/12

如果斜率也没有单调性怎么办呢？P4655

一个更通用的做法是李超树直接维护，略去不提。

我们考虑强行让斜率单调。我们采用 cdq 分治！不断分治，显然右侧点对左侧点无贡献，我们先递归左侧，计算出左侧点对右侧点的贡献后，递归右侧。根据 cdq 的理论，这样进行的转移是不重不漏的。

而我们计算完整个区间后，只需要归并排序所有点，就能强行让斜率单调，于是 cdq 内部得以正常斜优。

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upd 2025/04/25

全给我去写李超树。太好写了！而且不需要考虑单调性，全部可以拍李超树。虽然可能会多一只 log qwq