8.19 lbw

傻逼题

给一张无向简单连通图，给每一条边定向，使得每一个点出度为偶数，输出任意一种方案或判无解。

\(n,m\le 10^5\)。

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先随便定向然后调整。记 degree 偶数的点为 BananaNode，奇数的为 MonkeyNode，目标是使所有点都为 BananaNode。

对于两个 MonkeyNode，找到一条路径并翻转每条边，发现路径中的 Node 形态不变，但两个点都会变成 BananaNode。

于是找路径即可。实际上可以建生成树然后树上差分简单维护。MonkeyNode 为奇数时无解。复杂度 \(O(m+n\log n)\)。

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有趣一点的题

给定一棵 \(n\) 个节点的树，要求构造出一个点权序列 \(E\)，满足以下三个条件：

1. \(\forall E_i\ge 1\)。

2. \(\forall(i,j)(1 ≤ i < j ≤ N)\)，\(|E_i-E_j|\ge \operatorname{dist}(i,j)\)。

3. \(E\) 中的最大值最小。

\(n \le 2\times10^5\)。

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看到 Condition3，可能会考虑二分答案，但是这没有逼用。需要考虑 Condition2。

按 \(E_i\) 从小到大构造（拆绝对值）。记对应编号为 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)。那么有 \(E_i-E_{i-1}\ge \operatorname{dis}(a_{i-1},a_i)\)。

其他不相邻的点呢？

实际上并不需要管它们，例如 \(i\ge j, E_i-E_j=\sum\limits_{t=j+1}^i E_t-E_{t-1}=\sum\limits_{t=j+1}^i \operatorname{dis}(a_{t-1}, a_t)\ge\operatorname{dis}(a_i,a_j)\)。

于是只用考虑相邻点的限制了。考虑取等：\(\forall 1\le i<n, E_i-E_{i-1}=\operatorname{dis}(a_{i-1},a_i)\)。

由 Condition1，令最小值 \(E_1=1\)，那么有 \(E_x=1+\sum\limits_{i=1}^{x-1} \operatorname{dis}(a_i,a_{i+1})\)。

这个时候就能用上 Condition3 了：需要最小化 \(E_n=1+\sum\limits_{i=1}^{n-1} \operatorname{dis}(a_i,a_{i+1})\)。

注意到 \(\operatorname{dis}(a_1,a_2)+\operatorname{dis}(a_2,a_3)+\cdots+\operatorname{dis}(a_{n-1},a_n)+\operatorname{dis}(a_n,a_1)\ge2(n-1)\)，可以通过 \(a_i\) 取 dfs 序达到下界。

即 \(E_n=1+2(n-1)-\operatorname{dis}(a_1,a_n)\)。

只需要最大化 \(\operatorname{dis}(a_1,a_n)\)。\(a_1,a_n\) 取树的直径端点，剩下的取 dfs 序即可。

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暴力题

\(n\) 结点的无向图，初始时没有边，接下来 \(q\) 次操作：

• \({\tt 1}\ u\ v\)，加入一条连接 \(u,v\) 的边。保证操作前 \(u,v\) 不在同一个连通块内，换言之这张图总是森林。
• \({\tt 2}\ u\ v\)，询问是否存在和 \(u,v\) 都相邻的点，若存在输出编号，若不存在输出 \(0\)。

\(n,q\le10^5\)。

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考虑怎样的点才能成为 \(u,v\) 的共点：

• \(fa_{fa_u}=v\)，共点即 \(fa_u\)。
• \(fa_{fa_v}=u\)，共点即 \(fa_v\)。
• \(fa_u=fa_v\)，共点即 \(fa_u\)。

用启发式合并轻松做到 \(O(q\log n)\)。