KEYENCE2021 D 题解

blog。没题解就来写一篇捏。

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记 \(i,j\) 出现在同一队的次数为 \(s\)，总操作数为 \(t\)（\(s\le t\)）。考虑求出总操作数下界。

• 每操作一次，出现在同一队的数对个数增加 \(\dfrac{2^n\cdot(2^{n-1}-1)}2=2^{n-1}(2^{n-1}-1)\)。
• 操作 \(t\) 次，数对个数为 \(t\cdot2^{n-1}(2^{n-1}-1)\) 对。
• 另一方面，共有 \(\binom{2^n}2\) 对，总次数即为 \(s\cdot\binom{2^n}2=s\cdot2^{n-1}(2^n-1)\)。

于是 \(t\cdot2^{n-1}(2^{n-1}-1)=s\cdot2^{n-1}(2^n-1)\)，\(\dfrac st=\dfrac{2^{n-1}-1}{2^n-1}\)，由于分子分母互质，\(2^n-1\mid t\)，即有 \(t\ge 2^n-1\)。

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不难构造一个取到 \(s=2^{n-1}-1, t=2^n-1\) 的方案：对于第 \(i\) 轮第 \(j\) 人（此处 \(1\le i<2^n\)，\(0\le j<2^n\)），按 \(\operatorname{popcount}(i \operatorname{ and } j)\) 奇偶性分类即可。

证明不难：对于两个人 \(x\ne y\)，找到二进制下的一个不同位。第 \(i\) 轮的对应位取 \(0\) 时贡献相同，对应位取 \(1\) 时贡献相反，那么当 \(0\le i<2^n\) 时就会有恰好一半的轮次，两人出现在同一队。排除掉 \(i=0\)，那么即有 \(s=2^{n-1}-1\)。

code，时间复杂度 \(O(2^{2n})\)。