Natural number game 通关记录 | 教程

0x00 前言

Natural number game是最近发现的一款游戏。

游戏规则：用已知的内容去推导与证明未知的各种定理。

本游戏最好玩的地方在于：你需要从头开始证明各种各样的数学体系。

这意味着，刚开始的时候，你完全不知道什么加法交换律、结合律，你甚至不知道 \(a + 0 = a\)，你只知道 \(a = a\)。

0x01 教程关卡 | Tutorial world

这一部分可以直接看这里的思路与答案。因为是起始关，而且游戏内说明是英文，并且很长。

Level 1

• 内容

求证：\(x \cdot y + z = x \cdot y + z\)。

• 思路

如果你的等式形如 \(x = x\) 的形式，那么就完成了证明。

在框框内输入 refl, 即可完成证明。

末尾逗号不能忘记。

• 代码

refl,

Level 2

• 内容

给定 \(y = x + 7\)。

求证 \(2 \cdot y = 2 \cdot (x + 7)\)。

• 思路

如果你已经证明（之前的关卡的结论；刚刚证明的内容）了一个定理 \(A\)。

那么你就可以使用 \(\operatorname{rw}(A)\) 语句。

含义：将 A 带进去等式里。

注意有点不智能，如果要代入多次，也要写多次。

例如本题已经告诉你了 \(h\)。那么直接将 \(h\) 带进去即可。

• 代码

rw h,
refl,

Level 3

• 内容

给定 \(\operatorname{succ}(a) = b\)。

求证 \(\operatorname{succ}(\operatorname{succ}(a)) = \operatorname{succ}(b)\)。

• 思路

和 \(\text{Level 2}\) 一模一样。

这一关是告诉你，\(\operatorname{succ}(x)\) 是指一个类似函数的东西。

• 代码

rw h,
refl,

Level 4

• 内容

求证 \(a + \operatorname{succ}(0) = \operatorname{succ}(a)\)。

• 思路

即将进入加法的世界！这一关是热身。

你又学会了两个操作：

1. \(\operatorname{add\_zero}(x)\)：\(x + 0 = x\)。
2. \(\operatorname{add\_succ}(x, y)\)：\(x + \operatorname{succ}(y) = \operatorname{succ}(x + y)\)。

首先，你 \(\operatorname{add\_succ}\)，将求证式变成 \(\operatorname{succ}(a + 0) = \operatorname(a)\)。

然后，你 \(\operatorname{add\_zero}\)，将求证式变成 \(\operatorname(a) = \operatorname(a)\)。

证毕。

• 代码

rw add_succ,
rw add_zero,
refl,

0x02 加法世界 | Addition world

Level 1

• 内容

求证 \(0 + n = n\)。

• 思路

你又学会了一个操作：\(\text{induction n with x A}\)。

表示将 \(n\) 以 \(0\) 表示，证明了这个后，称其为定理 \(A\)，其中的 \(n\) 会变成 \(x\)。

但是原式的 \(n\) 会随之变成 \(\operatorname{succ}(x)\)。

第一次使用这个语句，我说得详细一些：

首先定义一下 \(n\) 的操作。现在需要证明 \(0 + 0 = 0\)。

很简单，\(\operatorname{add\_zero}\) 然后证毕。

接下来只需证 \(0 + \operatorname{succ}(x) = \operatorname{succ}(x)\)。

也非常简单，\(\operatorname{add\_succ}\) 即可。再代入 \(A\) 证毕。

• 代码

induction n with x A,
rw add_zero,
refl,
rw add_succ,
rw A,
refl,

Level 2

• 内容

证明 \((a + b) + c = a + (b + c)\)。

• 思路

把 \(c\) 换掉。只需证明 \(a + b + 0 = a + (b + 0)\)。两次 \(\operatorname{add\_zero}\) 证毕。

然后多进行几次 \(\operatorname{add\_succ}\)，然后代入 \(A\)，证毕。自己想。

• 代码

induction c with x A,
rw add_zero,
rw add_zero,
refl,
rw add_succ,
rw add_succ,
rw add_succ,
rw A,
refl,

注意：你完成一关后，标题的定理你是可以在之后的关卡使用的。

例如本关就是 \(\operatorname{add\_assoc}\)。

Level 3

• 内容

证明 \(\operatorname{succ}(a) + b = \operatorname{succ}(a + b)\)。

• 思路

把 \(b\) 换掉。和刚才一样，两次 \(\operatorname{add\_zero}\) 证毕。

然后再使用两次 \(\operatorname{add\_succ}\) 即可。

• 代码

induction b with x A,
rw add_zero,
rw add_zero,
refl,
rw add_succ,
rw add_succ,
rw A,
refl,

Level 4

• 内容

证明 \(a + b = b + a\)。

• 思路

换掉 \(a\)。证明 \(a + 0 = 0 + a\)。

一次 \(add\_zero\) 与一次 \(zero\_add\) 证毕。

然后你要证明 \(\operatorname{succ}(x) + b = b + \operatorname{succ}(x)\)。

同样的，一次 \(\operatorname{add\_succ}\) 与一次 \(\operatorname{succ\_add}\)。代回 \(A\) 证毕。

• 代码

induction a with x A,
rw add_zero,
rw zero_add,
refl,
rw add_succ,
rw succ_add,
rw A,
refl,

Level 5

• 内容

你又学会了 \(\operatorname{one\_eq\_succ\_zero}()\) 表示 \(\operatorname{succ}(0) = 1\)。

证明 \(\operatorname{succ}(n) = n + 1\)。

• 思路

换掉 \(n\)。用刚刚学的那个东西证掉。

然后 \(\operatorname{succ\_add}\) 再代回 \(A\)，证毕。

• 代码

induction n with x A,
rw zero_add,
rw one_eq_succ_zero,
refl,
rw succ_add,
rw A,
refl,

Level 6

• 内容

证明 \(a + b + c = a + c + b\)。

• 思路

两次 \(\operatorname{add\_assoc}\) 后换掉 \(a\)。这个是非常好证明的。

然后随便 \(\operatorname{succ\_add}\) 一下。代回去，证毕。

• 代码

rw add_assoc,
rw add_assoc,
induction a with x A,
rw zero_add,
rw zero_add,
rw add_comm,
refl,
rw succ_add,
rw succ_add,
rw A,
refl,

现在你已经结束了加法世界！你学会了一个超级工具：

\(\operatorname{simp}()\) 可以直接帮你化简有关加法的部分！

0x03 乘法世界 | Multiplication world

Level 1

• 内容

你学会了两个有关乘法的操作：

1. \(\operatorname{mul\_zero}(x)\)：\(x \cdot 0 = 0\)。
2. \(\operatorname{mul\_succ}(a, b)\)：\(a \cdot \operatorname{succ}(b) = a \cdot b + a\)。

求证 \(0 \times m = 0\)。

• 思路

换掉 \(m\)。证明 \(0 \times 0 = 0\) 非常容易。

然后 \(\operatorname{mul\_succ}\) 一下。代回 \(A\)。然后直接使用高级的 \(\operatorname{simp}()\) 就搞定了。

• 代码

induction m with x A,
rw mul_zero,
refl,
rw mul_succ,
rw A,
simp,

Level 2

又咕掉了。