HDU 2191解题报告

HDU2191

地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

算法分类：动规、多重背包、二进制拆分

 

题目原文：

悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活

Problem Description

急！灾区的食物依然短缺！ 为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。 请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？

后记： 人生是一个充满了变数的生命过程，天灾、人祸、病痛是我们生命历程中不可预知的威胁。 月有阴晴圆缺，人有旦夕祸福，未来对于我们而言是一个未知数。那么，我们要做的就应该是珍惜现在，感恩生活—— 感谢父母，他们给予我们生命，抚养我们成人； 感谢老师，他们授给我们知识，教我们做人 感谢朋友，他们让我们感受到世界的温暖； 感谢对手，他们令我们不断进取、努力。 同样，我们也要感谢痛苦与艰辛带给我们的财富～

Input

输入数据首先包含一个正整数C，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和大米的种类，然后是m行数据，每行包含3个数p，h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20)，分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数。

Output

对于每组测试数据，请输出能够购买大米的最多重量，你可以假设经费买不光所有的大米，并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。

Sample Input

1 8 2 2 100 4 4 100 2

Sample Output

400

 

题目分析

典型多重背包题（代码也是根据多重背包模板改的）。我觉得多重背包体现了很多重要的思想，就选择写下这个题的题解。

对于0/1背包：

令表示耗费不超过j的情况下，对于前i种物品的能取得的最大重量。对于每一种物品又只有取或不取两种情况，那么状态转移方程为：

 

观察到的取值只与，有关，那么，我们就可以用滚动数组来实现。需要注意的是，的循环方向为从右到左。

对于多重背包，我们可以把它看成由多个具有相同属性的物品组成的0/1背包，再对所有的物品进行规划求解。

那么，问题来了，如果物品数成千上万怎么办？如果仍单纯地看成01背包的话，就会有超时的风险。观察到：

1=1;

2=1+1;

3=1+2;

4=1+2+1；

……

13=1+2+4+6；

20=1+2+4+6+7；

……

对于数字N，当对它进行如上拆分时，那么从1 - N之间的任何数，都能用拆成的数表示。从而，当我们进行枚举时，就无需将数量为N的物品添加成N个相同属性的背包了。我们直接把他拆分成如上价格与重量为1倍，2倍……的物品即可。

 

程序代码

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
/*
* 原 将同种物品看成多个相同属性的不同物品，转化为01背包
* 优 由于对同种物品可按选取多少个枚举方案，故可将数量二进制拆分，如8拆成1 2 4 1 这些数总能组成1-8的任何数
*/
using namespace std;
int N, M, dp[2010];//种类 经费
int n[110], w[2010], v[2010];//数量 重量 价值
int main()
{
   int c;
   cin>>c;
   while(c--)
  {
       cin>>M>>N;
       int k=N;
       for(int i=1;i<=N;i++)
      {
           cin>>v[i]>>w[i]>>n[i];
           n[i]--;
           for(int j=2;j<n[i];j<<=1)//二进制拆分
          {
               v[++k]=v[i]*j;
               w[k]=w[i]*j;
               n[i]-=j;
          }
           if(n[i]>0)
          {
               v[++k]=v[i]*n[i];
               w[k]=w[i]*n[i];
          }
      }
       memset(dp, 0, sizeof(dp));
       for(int i=1;i<=k;i++)//i从上到下循环
      {
           for(int j=M;j>=v[i];j--)//j从右向左循环
          {
               dp[j]=max(dp[j], dp[j-v[i]]+w[i]);
          }
      }
       cout<<dp[M]<<endl;
  }
   //system("pause");
   return 0;
}

 

程序分析

对于背包载重为，物品数量为的多重背包。若不使用二进制拆分，则它的时间复杂度为。若使用二进制拆分，则其时间复杂度可降低为。同时，使用滚动数组也减少了空间复杂度，使代码更简洁。需要注意的一点是，我们把物品的种类扩充了，那么数组的空间也要扩大，不能取110了噢。

 

心得

对于此类问题，还是可以按照动态规划的一般步骤：分解为子问题，确定状态，确定初始或边界状态的值，确定状态转移方程来进行。另外，根据问题的复杂性对程序空间或时间方面做出优化。在这里，减少了状态的数量，也缩小了空间。同时，根据不同的题目对于数据我们还有离散化、哈希等方法进行处理。但对于空间的优化，我们可能就要选用更优的数据结构或算法来实现了。